Докажите минимальное свойство многочленов Фурье.

 

Минимальное свойство многочленов Фурье:

Доказательство минимального свойства многочленов Фурье:

 

Докажите полноту тригонометрической системы.

 

Определение полноты тригонометрической системы:

Доказательство полноты тригонометрической системы:

Докажите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

 

Неравенство Бесселя:

Доказательство неравенства Бесселя:

Равенство Парсеваля:

Доказательство:

 

Докажите теорему о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном.

 

Теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном:

Доказательство:

Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье.

 

Определение:

Доказательство:

 

54. Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры. Дайте определение модуля вектора в евклидовом пространстве и расстояния между векторами. Докажите неравенство Коши-Шварца.

 

Определение евклидова пространства:

Примеры:

1.Множество всех векторов обычного трехмерного пространства с обычным скалярным произведением.

2. Координатное пространство .

 

Определение модуля вектора в евклидовом пространстве:

Определение расстояния между векторами в евклидовом пространстве:

Неравенство Коши-Шварца:

Доказательство неравенства Коши-Шварца:

 

Перечислите и докажите свойства модуля в евклидовом пространстве. Докажите формулу, выражающую модуль через точную верхнюю грань скалярного произведения.

 

Свойства модуля в евклидовом пространстве:

Доказательство свойств модуля в евклидовом пространстве:

Формула, выражающая модуль через точную верхнюю грань скалярного произведения:

Доказательство данной формулы:

Дайте определение изоморфизма евклидовых пространств. Сформулируйте теорему о классификации евклидовых пространств.

 

Определение изоморфизма евклидовых пространств:

Отображение  евклидова пространства  на  называется изоморфизмом, если оно инъективно (то есть одному элементу одного пространства удовлетворяет единственный элемент другого пространства) и удовлетворяет условиям:

1)

2)

3)

 

Теорема о классификации евклидовых пространств:

Доказательство теоремы о классификации евклидовых пространств:

 

Дайте определение окрестности точки в евклидовом пространстве. Дайте определение сходящейся последовательности в евклидовом пространстве. Сформулируйте теорему о сходимости последовательности в конечномерном евклидовом пространстве.

 

Определение окрестности точки в евклидовом пространстве:

-окрестностью точки  в  называется множество точек , удовлетворяющих условию , где  – расстояние между точками и .

 

Определение сходящейся последовательности в евклидовом пространстве:

Примеры сходящихся последовательностей:

1)

Теорема о сходимости последовательности в конечномерном евклидовом пространстве: