Докажите необходимое условие равномерной сходимости ряда.

 

Необходимое условие сходимости:

Доказательство:

 

Докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

 

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда:

Доказательство:

 

Докажите признак Лейбница равномерной сходимости ряда.

 

Признак Лейбница равномерной сходимости ряда:

Доказательство:

 

Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда.

Признак Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда:

Доказательство:

Дайте определение степенного ряда. Докажите лемму Абеля. Докажите теорему об области сходимости степенного ряда.

 

Определение степенного ряда:

Теорема об области сходимости степенного ряда:

Лемма Абеля:

Доказательство леммы Абеля:

Доказательство теоремы об области сходимости степенного ряда:

 

Докажите теорему о равномерной сходимости степенного ряда и теорему о непрерывности суммы степенного ряда.

 

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда:

Доказательство теоремы о равномерной сходимости степенного ряда:

 

 

Теорема о непрерывности суммы степенного ряда:

Доказательство теоремы о непрерывности степенного ряда:

 

44. Докажите теорему о дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Приведите примеры вычисления суммы степенного ряда.

 

Теорема о дифференцировании и интегрировании степенных рядов:

Доказательство теоремы о дифференцировании степенных рядов:

Примеры вычисления степенного ряда:

 

Дайте определение ряда Тейлора. Докажите теорему о представлении степенного ряда в виде ряда Тейлора своей суммы.

 

Определение ряда Тейлора:

Теорема о представлении степенного ряда в виде ряда Тейлора своей суммы:

Доказательство теоремы о представлении степенного ряда в виде ряда Тейлора своей суммы:

 

Докажите теорему о достаточном условии сходимости ряда Тейлора. Приведите стандартные разложения Маклорена.

 

Теорема о достаточном условии сходимости ряда Тейлора:

Доказательство теоремы о достаточном условии сходимости ряда Тейлора:

Стандартные разложения Маклорена:

 

47. Дайте определение тригонометрического ряда и ряда Фурье. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном.

 

Определение тригонометрического ряда:

Определение ряда Фурье:

Теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном:

 

Дайте определение скалярного произведения функций на отрезке. Докажите ортогональность тригонометрической системы. Докажите формулу, связывающую скалярное произведение с коэффициентами Фурье.

 

Определение скалярного произведения функции на отрезке:

Определение ортогональной тригонометрической системы:

Доказательство ортогональности тригонометрической системы:

Формула, связывающая произведение с коэффициентами Фурье: