Приведите свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность, выпуклость, оценка сверху, непрерывность, теорема о среднем, интегрируемость произведения, замена переменной.

 

Свойства определённого интеграла:

1. Линейность.

Если функции  и  интегрируемы на отрезке  то для любых чисел

 функция  тоже интегрируема на отрезке , причем

 

2. Аддитивность.

Пусть  и функция  интегрируема на отрезках  и ,

тогда она интегрируема на отрезке , и при этом

 

3. Монотонность.

Если функции  и  интегрируемы на отрезке  и при этом

то:

 

4. Выпуклость.

Если функция  интегрируема на отрезке , то функция  тоже

интегрируема на отрезке , и при этом

 

5. Оценка сверху.

Если функция  интегрируема на отрезке , то

 

6. Непрерывность.

Если функция  интегрируема на отрезке , то для всякой точки

 

 

7. Теорема о среднем.

Если функция  непрерывна на отрезке , то найдется такая

точка , что

8. Интегрируемость произведения.

Если функции  и  интегрируемы на отрезке ,

то их произведение  – тоже интегрируемая функция на отрезке .

 

9. Замена переменной.

Пусть:

1) функция  интегрируема на отрезке

2) функция  определена на отрезке  и обладает свойствами:

a)  – гладкая на отрезке ;

b)  – строго монотонная на отрезке ;

c)  сюръективно (принимает все возможные значения) отображает отрезок  на отрезок :

тогда функция ′ интегрируема на отрезке , и

 

Доказательство данных свойств:

1. Линейность. Пусть функции  и  интегрируемы на отрезке , и

 

Для всякого разбиения   отрезка  и любой системы выделенных точек  мы получим:

Это нужно понимать так: если взять последовательность разбиений , диаметры которых стремятся к нулю, то какую ни выбирай систему выделенных точек , интегральная сумма функции  будет стремится к числу . То есть, функция  получается интегрируемой, и:

 

2. Аддитивность.

Дайте определение функции, дифференцируемой на отрезке. Докажите лемму о функции с нулевой производной на отрезке.

 

Дифференцируемая функция:

Если функция определена в окрестности точки и

, где , а — некоторая константа, то функцию называют дифференцируемой в точке и называется дифференциалом функции в точке .

 

Определение:

Если функция дифференцируема в любой точке , то функция называется дифференцируемой на промежутке .

 

 

Лемма о функции с нулевой производной на отрезке (Теорема Ролля):

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

 

Доказательство:

Поскольку функция  непрерывна на отрезке , по теореме Вейерштрасса об экстремумах,  имеет максимум и минимум на :

Ясно, что , поэтому возможны два случая:

1)

2)

В первом случае мы получаем, что функция  должна быть постоянной

,

поэтому ее производная  будет равна нулю в любой точке .

Во втором же случае мы получаем, что с одной стороны , а с другой, . Это означает, что  или  не может быть концом отрезка :

– либо ,

– либо .

Значит, функция  имеет экстремум на интервале  (если  – то минимум, а если

 – то максимум). Следовательно, по теореме Ферма, найдется точка  такая, что .