Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства направленных отрезков.

Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим ещё одну модель - арифметическую (координатную) модель векторного пространства.

Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков

В этом пункте для направленных отрезков, являющихся элементами геометрической модели векторного пространства, мы построим координатную (арифметическую) модель так, что нам потребуются лишь восемь свойств направленных отрезков сформулированных выше и следующая теорема размерности.

Выражения вида a +b +…+g называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.

Теорема размерности.

1. Пусть вектор параллелен вектору ₁, тогда существует единственное x ÎR такое, что = x ₁.

2.

x 1

y 2

1

2

Рис. 3.4

Пусть два вектора лежат в плоскости и пусть вектор ₁ не параллелен вектору ₂. Тогда всякий вектор этой плоскости есть единственная линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁+ у ₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их единственная линейная комбинация:

= x ₁ + y ₂ + z ₃

 

 

Доказательство проведем только для второго случая.

Выберем произвольную точку О на плоскости и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления ₁ и ₂ отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х ₂ и у ₂. Тогда получим требуемое равенство = х ₁ + у ₂. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₁, рис. 3.4, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у в этом разложении назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.

Вывод 1.

Если в пространстве задан базис { ₁, ₂, ₃}, то между множеством векторов геометрической модели направленных отрезков и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие

↔(x,y,z), (3.1)

которое определяется разложением вектора в заданном базисе: .

Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или, что тоже, координатной моделью трехмерного векторного пространства, нам надо определить операции сложения векторов и умножения на число в координатной форме, учитывая определения этих операций в геометрической модели направленных отрезков.

Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся двумерным случаем.

Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма

.

Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:

Согласно соответствию (1.10), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .

Вывод 2.

Операции сложения по правилу параллелограмма в геометрической модели направленных отрезков соответствует операция сложения по координатам в арифметической (координатной) модели векторов, операции умножения направленного отрезка на число соответствует операция умножения всех координат этого вектора на число в координатной модели.

Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .

Вывод 3.

В координатной модели определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов использует в точности 8 свойств операций сложения и умножения, установленных в геометрической модели. При построении координат использовалась теорема размерности для направленных отрезков, поэтому эти 8 свойств и свойство размерности называют девятью аксиомами арифметической модели векторного пространства.

Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:

На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число и утверждение о размерности векторного пространства определяет арифметическую модель векторного пространства.

Попутно мы устанавливаем следующее свойство.

Вывод 4.