Группа 4. Аксиомы непрерывности.

Для описания свойства непрерывного расположения точек на прямой, взаимно-однозначного соответствия между точками прямой и действительными числами, определения длины отрезка и величины угла, установление взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводятся две следующие аксиомы.

AºC D 2 СD … B n CD

n CD

Рис. 2.2.

18. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и СD; существует такое натуральное n, что n·СD>АВ, (n-1)CD≤ AB, (n·СD - обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис.2.2).

19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков [ A ₁, B ₁], [ A ₂, B ₂], …, [ A_N, B_N ], …, удовлетворяющая двум требованиям: 1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка M, принадлежащая всем отрезкам последовательности, рис. 2.3.

 

[ [ [ … · … ] ] ] A 1 A 2 A 3 ... M... B 3 B 2 B 1

Рис. 2.3.

 

Аксиомы непрерывности 18-19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.

Замечание 2.

Геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1-4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельности прямых и параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те,утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности прямых линий.

Замечание 3.

Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.

В абсолютной геометрии определено расстояние r(А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины отрезка на прямой.

r (А,В) = длине отрезка АВ.

Расстояние обладает свойствами:

r (А,В) > 0ÛАºВ

r (А,С) r(А,В)+r(В,С), " А,В,С

Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A<B<C.

Вывод 3.

Абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств элементов фигур (сторон, углов и т. д.). В этой геометрии существует понятие «близости» и «непрерывности» основанные на понятии расстояния между точками фигур.

Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии).

20. Через любую точку А не инцидентную прямой “a”, можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.

Замечание 4.

То, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b” не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.

Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b” к прямой АВ (рис.2.3.).

A

B

a

P

b

Рис. 2.3

Если существует пересечение прямых “a” и “b” в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b”Ç”а”=Æ.

Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V-постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата. Историческую роль V постулата мы исследуем отдельно, познакомившись с требованиями, предъявляемыми к системе аксиом.