Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
(условиях существования наклонной асимптоты)

Теорема.Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

29. Схема полного исследования функции и построения графиков.
Исследование динамики функций полных, средних, предельных издержек.

Исследование динамики функции предполагает определение:

1) определение области определения (для производственных функций – экономически обусловленной области определения (ЭОО));

2) точек разрыва и интервалов непрерывности;

3) интервалов возрастания и убывания функции, точек экстремума;

4) интервалов выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба;
5) темпов возрастания и убывания функции. 30. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства

30. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства
П. 1. Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции
F'(x) = f(x). Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
П.2. Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

31. Определенный интеграл. Геометрический смысл
Если интегральная суммаSn(T) стремится кчислу I при d(T)→0 независимо от выбора точекCi, то число I называется определённым интеграломфункции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается

Таким образом
Функция, для которой существует интеграл 2, называется интегрируемой на отрезке [a;b], числа a и b –соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a;b] - областью (отрезком) интегрирования
Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).