Теория. Единственность предела функции. Функция не может иметь в одной точке два различных предела.

Предел суммы двух функции. Предел суммы двух функций равен сумме пределов: lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x),
x → a
Предел произведения двух функции. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x), x → a
Предел частного двух функции. Предел частного двух функций равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю: limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x), x → a
Теорема о двух милиционерах для функции). Если в некоторой окрестности точки x=a функция f(x) заключена между двумя другими функциями g(x) и f(x), имеющими один тот же предел A при x→a:

g(x) ≤f(x) ≤h(x), limg(x)=limh(x)=A, x → a

Теоремы:
1. Предел константы равен самой этой константе: с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[k • f (х)] = k • f (х).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

7. Cвойства пределов последовательности
1)Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3)Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4)Предел произведения функции на постоянную величину.Постоянныйкоэффициэнт можно выносить за знак предела:

Предел произведения. Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

Предел частного.Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

Предел степенной функции

Где степень p - действительное число.

Предел показательной функции

где основание b > 0.

Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

10)Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

 

 

8. Первый замечательный предел.

Предел отношения функции sin x к ее аргументу x, когда последний стремится к нулю, равен единице:

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где SsectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

 

Второй замечательный предел

10. Определение непрерывности в точке, в интервале, на отрезке. Точки разрыва первого и второго рода.
Опр.1 Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 если она определена в этой точке и в некоторой её окрестности и:

Так как limx=x0, x->x0, то равенство 1 можно записать в виде: