Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dyесть также функция x и можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d^2y. По определениям дифференциалов 1 и 2 пор.: d^2y=d(dy)=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’*dx=f”(x)dx*dx=f”(x)(dx)^2=f”(x)dx^2

Аналогично можно вывести выражение для d^3y: d^3y=fm(x)dx^3

В общем случае: d^ny=f^(n) (x) dx^n

20. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма (док.)
Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда при :

, .

При : , .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.

Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля

Теорема Ролля (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .
Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма.
Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

х

В

А

с

в

а

у

Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что или:

, откуда .
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная - это тангенс наклона касательной в точке с.

А отношение - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.