То есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

5. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с Î [a.;b] такая, что

6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а <b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке [а; b], то .

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а;b],(а < b) можно интегрировать. Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b], (а < b), то

.

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

где a<b.

10. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Рассмотрим интеграл . Значение интеграла зависит от обоих пределов интегрирования a и b.

Теорема. Производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть

. Данная теорема означает, что функция является первообразной для . Из этой теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразные, одной из которых является интеграл .

Формула Ньютона – Лейбница.

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:

.

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции .

Методы вычислений определенного интеграла: непосредственное интегрирование; интегрирование подстановкой; интегрирование по частям.

Интегрирование по частям

Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

(5.3.1)

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла

Интегрирование методом подстановки

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции f(x) сделана подстановка .

Теорема. Если:

1. Функция и ее производная непрерывны при

2. Множеством значений функции при является отрезок

3. и ,

то

.

(2.5.1)

Формула (5.2.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что: 1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2. Часто вместо подстановки применяют подстановку t = g(x);

Непосредственное интегрирование представляет собой метод, основанный на свойствах интеграла.

Приложение определенного интеграла: формулы площадей плоских фигур, длины кривой, объема ткл вращения.

Площади фигур в декартовой системе координат

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми х = а и х = b (при ) можно найти по формуле .

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой , то ее площадь находится по формуле .