Частные производные 1 и 2 порядка функции двух переменных.

Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак, .

Аналогично получаем частное приращение z по y: .

Полное приращение функции z определяется равенством .

Если существует предел , то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из символов:

.

Частные производные по x в точке обычно обозначают символами .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от по переменной y:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находится по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно x или y считаются постоянной величиной).

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

; ;

; .

Дифференциалы 1 и 2 порядка функции двух переменных.

Полный дифференциал функции (формула 2.5) называют дифференциалом первого порядка.

Формула для вычисления полного дифференциала имеет следующий вид:

(2.5) или , где ,

частные дифференциалы функции .

Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:

Отсюда: . Символически это записывается так:

.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Первообразная функции, неопределенный интеграл, свойства.

Функция F(x) называется первообразной для данной функ­ции f{x), если F'(x)=f(x), или, что то же, если dF(x)=f(x)dx.

Теорема. Если функция f(x), определенная в некотором промежутке (X) конечной или бесконечной длины, имеет одну первообразную, F(x), то она имеет и бесконечно много первообразных; все они содержатся в выра­жении F(x)+С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x), определенной в некотором промежутке или на некотором отрезке конечной или бесконечной длины, называется неопределенным интегралом от функ­ции f(x) [или от выражения f(x)dx ] и обозначается символом .

Если F(x) есть одна из первообразных для f(x), то согласно теореме о первообразных

, где С есть произвольная постоянная.

По определению первообразной F'(x)=f(x) и, следовательно, dF(x)=f(x) dx. В формуле (7.1), f(x) называется подинтегральной функцией, а f(x) dx — подинтегральным выражением.