Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам сложения, вычитания и умножения многочленов.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется формулой

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Число изображается на плоскости ХОY точкой М с координатами (а, b) или вектором, начало которого находится в точке О (0,0), а конец в точке М (а, b). Длина вектора находится модулем комплексного числа

z

и обозначается , так что . Угол , образованный вектором и осью ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается ; он определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного :

, где есть главное значение , определяемое условиями (иногда ), причем

(22.1)

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме. Из ОАМ имеем:

(22.2)

Два комплексных числа и , записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину кратную :

(22.3)

Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме

Над числами, записанными в тригонометрической форме, удобно выполнять следующие действия:

Умножение комплексных чисел

Если воспользоваться тригонометрической формой , то произведение можно записать в виде:

(22.4)

таким образом:

,

Т.е.

.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются отсюда при обратном действии делении

(22.5)

Возведение в степень комплексного числа

Из формулы (4) следует, что если n целое положительное число, то

(22.6)

Эта формула называется формулой Муавра, она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое число, n-я степень которого равна подкоренному числу.

если .

Так как у равных комплексных чисел, модули должны быть равны, а аргументы отличаться на число кратное , то, ;

, где k – любое целое число, - арифметическое значение корня, следовательно:

(22.7)

Придавая k значения 0, 1, 2, …, n-1, получим n различных значений корня, для других значений k, аргументы будут отличаться от полученных на число кратное и следовательно получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Показательная форма комплексного числа

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме

.

По формуле Эйлера

(22.8)

Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме.

(22.9)

Действия над комплексными числами в показательной форме

Пусть ; , тогда

; ;

;

, где .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначается или просто .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают и обозначают