Градиент потенциальной энергии. Связь силы и потенциальной энергии. Движение частицы в потенциальном поле.

Каждой точке потенциального поля соответствует одной стороны, некоторое значение вектора силы f, действующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела U. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь. Для установления этой связи вычислим элементарную работу, ΔA совершаемую силами поля при малом перемещении тела Δs, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое мы обозначим буквой s (рис. 66), Эта работа равна:

Рис.66

(28.1)

где f_s — проекция силы f на направление s.

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии — ΔU на отрезке Δs оси s:

(28.2)

Сопоставляя (28.1) и (28.2), получаем:

откуда:

(28.3)

Выражение (28.3) даст среднее значение f_s на отрезке Δs. Чтобы получить значение f_s в данной точке, нужно произвести предельный переход:

(28.4)

Поскольку U может изменяться не только при перемещении вдоль оси s, но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в формуле (28.4) представляет собой так называемую частную производную от U по s:

(28.5)

Соотношение (28.5) справедливо для любого направления в пространстве, в частности, и для направления декартовых координатных осей x, y, z:

(28.6)

Формулы (28.6) определяют проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы. В соответствии с (2.8)

(28.7)

В математике вектор

где a — скалярная функция x, y, z, называется градиентом этого скаляра и обозначается символом grada. Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком

(28.8)

Пример. Возьмем в качестве примера поле сил тяжести. Ось направим по вертикали вверх (рис. 67). При таком выборе координатных осей потенциальная энергия будет иметь вид

Проекция силы на оси согласно (28.6) равны:

Рис.67

откуда следует, что сила равна mg и направлена в сторону, противоположную направлению z, т. е. вниз по вертикали.

4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля

Силу , действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа , совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории , например , работа консервативной силы равна нулю.

Примером консервативных сил могут служить силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия заряженных тел. Поле, работа сил которого по перемещению материальной точки вдоль произвольной замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

4.8. Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

(4.15)

Рассмотрим систему, состоящую из многих материальных точек. Если задано положение каждой материальной точки, то этим определено и положение всей системы или ее конфигурация. Если силы, действующие на материальные точки системы, зависят только от конфигурации системы (т.е. только от координат материальных точек) и сумма работ этих сил при перемещении системы из одного положения в другое не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. В этом случае для системы материальных точек также можно ввести понятие потенциальной энергии системы, обладающей свойством (7): , (8)

где - полная работа консервативных сил, действующих на материальные точки системы при переходе ее из конфигурации 1 в конфигурацию 2; и - значения потенциальной энергии системы в этих конфигурациях.

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и его потенциальной энергией определяется по следующим формулам:

(9)

или , (10)

где – называется градиентом скалярной функции ; – единичные векторы координатных осей;

. (11)

Часто формулу (9) записывают также в виде , где – оператор набла, определяемый по формуле (11).