Потенциальное поле сил. Консервативные и неконсервативные силы

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли частица находится в поле силы тяжести.

В электрическом поле неподвижного точечного заряда на заряженную частицу действует поле, характерное тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд ), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра: . Такое поле называется центральным (рис.4.3).

Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению, поле называется однородным.

Силовое поле, которое можно описать с помощью функции такой, что

(4.6)

называется потенциальным. Функция называется потенциальной функцией или потенциалом. Если поле не изменяется со временем, оно называется стационарным, в этом случае .

Добавление к функции произвольной постоянной величины не изменяет значений , вычисляемых по формулам (4.6). Поэтому потенциальная функция определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако при фиксированном значении этой постоянной становится однозначной функцией координат и времени.

Вектор с компонентами , где - скалярная функция координат, называется градиентом функции и обозначается либо ( называется оператором набла, читается: «набла фи» или «градиент фи»). Из определения градиента следует, что , поэтому в случае потенциального силового поля имеем:

. (4.7)

Работа силы, удовлетворяющей условию (4.7), равна

, (4.8)

т.е. представляет собой полный дифференциал функции . Проинтегрировав выражение (4.8) по некоторой траектории от точки 1 до точки 2, получаем:

. (4.9)

Форма траектории, по которой осуществлялось интегрирование, была совершенно произвольной. Таким образом, работа, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поля, не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положениями частицы в пространстве.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое, называются консервативными. Следовательно, силы, действующие на частицу в стационарном потенциальном поле, являются консервативными.

Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем произвольный замкнутый путь (рис.4.4) на две части: путь 1, по которому частица переходит из точки 1 в точку 2, и путь , по которому частица переходит из точки 2 в точку 1. При этом точки 1 и 2 выбраны произвольно.

Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

. (4.10)

Очевидно, работы и отличаются только знаком. Действительно, изменение направления движения на обратное приводит к замене на - , поэтому значение интеграла изменяет знак на обратный.

Поэтому равенство (4.10) можно записать в виде: .Так как работа не зависит от пути, то = - , и .

Кроме консервативных сил существуют неконсервативные силы. К ним относятся диссипативные силы, переводящие механическую энергию во внутреннюю (это силы трения, сопротивления среды), а также гироскопические силы, перпендикулярные скорости (сила Кореолиса, сила Лоренца), работа которых всегда равна нулю. Для неконсервативных сил соотношение (4.7) не выполняется.

Докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковые величину и направление – вниз по вертикали (рис.4.5). Поэтому, независимо от того, по какому из путей 1 или II движется частица, работа определяется выражением:

Из рис.4.5 видно, что проекция вектора на направление равна разности высот . Тогда работа

Это выражение не зависит от пути, следовательно, сила тяжести консервативна.

Силы, действующие на частицу в центральном поле, также консервативны (рис.4.6). Элементарная работа центральной силы на пути равна . Проекция на направление силы в данном месте – это проекция на направление радиуса-вектора , она равна приращению расстояния частицы до центра силового поля О:

. Работа на всем пути

Это выражение зависит только от вида функции и от значений и . От вида траектории оно не зависит, следовательно, центральная сила консервативна.