Момент импульса материальной точки и механической системы. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса механической системы

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют внешние силы (рис.4.15). Уравнения движения частиц имеют вид: .Умножим первое уравнение векторно слева на радиус-вектор первой частицы , а второе – на радиус-вектор второй частицы : Ясно, что , тогда учитывая, что , получаем .

Внесем массу под знак производной и в векторное произведение,

,

или .

Сложив эти уравнения, получаем:

. (4.20)

Векторы и коллинеарны, их векторное произведение равно нулю. Тогда выражение (4.20) принимает вид:

Если система замкнутая, правая часть этого соотношения равна нулю, поэтому

. Мы получили аддитивную сохраняющуюся величину, называемую моментом импульса относительно точки О (рис.4.15).

Для отдельно взятой частицы моментом импульса относительно точки О называется псевдовектор .

Моментом импульса системы относительно точки О называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему: .

Проекция вектора на некоторую ось называется моментом импульса частицы относительно этой оси . Аналогично, моментом импульса системы относительно оси называется скалярная величина .

Из рис.4.16 видно, что модуль вектора момента импульса частицы равен . Здесь - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки О. Рис. 4.16 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент, и вектор лежат в плоскости рисунка. Вектор перпендикулярен плоскости рисунка и направлен от нас.

Рассмотрим два характерных случая.

1. Пусть частица движется по прямой, изображенной на рис.4.17а). В этом случае момент импульса частицы может изменяться только по величине. Модуль момента импульса равен , плечо остается неизменным.

2. Частица движется по окружности радиуса (рис.4.17 б). Момент импульса частицы относительно центра окружности О равен по модулю Вектор перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения частицы образует с вектором правовинтовую систему. Плечо постоянно и равно , поэтому вектор может изменяться только при изменении модуля скорости. При равномерном движении частицы по окружности момент импульса остается постоянным.

Псевдовектор называется моментом силы относительно точки О, из которой проводится радиус-вектор точки приложения силы (рис.4.18). Из рисунка видно, что модуль момента силы равен где - плечо силы относительно точки О (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).

Проекция вектора на некоторую ось , проходящую через точку О, относительно которой определен , называется моментом силы относительно этой оси:

Разложим вектор силы (рис.4.19) на три взаимно перпендикулярные составляющие: -параллельную оси , - перпендикулярную к оси и действующую вдоль прямой, проходящей через ось, и - перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось и точку приложения силы (эта составляющая обозначена кружочком с крестиком на рис.4.19). Если провести окружность радиуса с центром на оси , то составляющая будет направлена по касательной к этой окружности. Момент силы относительно точки О равен сумме моментов составляющих: . Векторы и перпендикулярны к оси , поэтому их проекции на ось равны нулю. Момент имеет модуль и образует с осью угол , причем . Тогда момент силы относительно оси равен , и момент силы относительно оси равен .

Момент силы характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой он берется. Если тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, то под действием силы оно повернется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, т.е. вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы относительно данной точки.

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющие и не могут вызвать вращения вокруг оси . Такой поворот может быть вызван только составляющей , причем момент будет тем больше, чем больше плечо .

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис.4.20). Расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент образующих пару сил равен

. Учтем, что , получаем

,

где - вектор, проведенный из точки приложения силы в точку приложения силы . Это выражение не зависит от выбора точки О, т.е. момент пары сил относительно любой точки один и тот же. Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, и численно равен произведению модуля одной из сил на плечо.

Силы взаимодействия между частицами направлены противоположно вдоль одной и той же прямой (рис.4.20). Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

.

В соответствии с определениями моментов импульса и силы и с учетом сказанного выше, уравнение (4.20) можно переписать в виде

.

Из этой формулы следует, что скорость изменения момента импульса механической системы равна моменту внешних сил, приложенных к этой системе. При отсутствии момента внешних сил (в случае замкнутой системы) момент импульса сохраняется. В этом состоит содержание закона сохранения импульса.