Поверхности, образованные кривыми

Второго порядка

При вращении алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной прямой образуется поверхность вращения порядка 2n.

Действительно, образующая n-го порядка пересекается с плоскостью Г, перпендикулярной оси вращения, в n точках. Каждая из этих точек описывает в плоскости Г свою окружность. Поэтому любая прямая t плоскости Г пересекает каждую окружность в двух точках, а все n окружностей в 2n точках. Следовательно, прямая t пересекает поверхность вращения в 2n точках, что определяет ее порядок. Значит, кривая второго порядка в общем случае образует поверхность четвертого порядка.

В качестве примера рассмотрим образование широко распространенной в технике поверхности тора (кольца). Тор образуется вращением окружности l вокруг оси i, расположенной в плоскости этой окружности (рис.10.3). Показано построение горизонтальных проекций А₁¹,А₁²,А₁³,А₁⁴ и профильных А₂¹,А₂²,... соответствующих точек А¹,А²,А³,А⁴, в которых прямая t, перпендикулярная P₂ и лежащая в плоскости Г, пересекает поверхность тора. Это значит, что поверхность тора является поверхностью четвертого порядка.

Показанный на рис. 10.3 тор называется открытым, он имеет отверстие. Если тор образуется вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность, то тор получается закрытым, то есть без отверстия.

При вращении кривой n-порядка, имеющей плоскость симметрии, вокруг оси, лежащей в этой плоскости, образуется поверхность вращения n-го порядка. В этом случае каждые две точки пересечения образующей l с плоскостью Г, перпендикулярной оси i, описывают одну окружность, так как они равноудалены от центра О=ГÇi. Общее число окружностей равно n Поэтому произвольная прямая t плоскости Г пересекает каждую из них в двух точках. И всего точек пересечения будет n, что определяет порядок получаемый поверхности вращения.

В следствии этого при вращении кривой второго порядка вокруг ее оси образуется поверхность вращения второго порядка:

окружность вокруг любого диаметра - сфера;

эллипс вокруг малой оси - сжатый эллипсоид вращения;

эллипс вокруг большой оси - вытянутый эллипсоид вращения;

парабола вокруг оси - параболоид вращения;

гипербола вокруг мнимой оси - однополостный гиперболоид вращения;

гипербола вокруг действительной оси - двуполостный гиперболоид вращения.

Чертеж поверхности вращения, заданной проекциями элементов геометрической части определителя, не отличается наглядностью. Так как форма поверхности вращения наглядно определяется ее меридианом, то чертеж поверхности дополняют изображением главного меридиана. В общем случае строят очерковые линии поверхности, как это показано на примере с однополостным гиперболоидом вращения на рис. 10.2.

Винтовые поверхности

Поверхность, образованная винтовым движением некоторой линии, называется винтовой поверхностью.

Линия совершает винтовое движение, если каждая точка этой линии описывает цилиндрическую винтовую линию.

Определитель винтовой поверхности, его геометрическая часть, записывается в виде Ф(l,m,i), где l -образующая линия, m- направляющая цилиндрическая винтовая линия, i- ось винтового движения. В алгоритмической части кроме “винтовая поверхность” должно быть указано взаимное положение l и i.

Если при своем движении образующая l пересекает ось i, то поверхность называется закрытой, в противном случае - открытой. Если образующей является прямая линия, то винтовая поверхность называется геликоидом. Геликоид называется прямым, если образующая l перпендикулярна оси i, в противном случае - наклонным. Закрытый наклонный геликоид также называется архимедовым, так как при его сечении плоскостью, перпендикулярной оси i, получается кривая, называемая спиралью Архимеда.

Если геликоид открытый, его образующая прямая l при своем движении касается внутреннего цилиндра и некоторой винтовой линии и перпендикулярна оси i, то такой геликоид называется эвольвентным, так как его нормальное сечение (перпендикулярное оси i) представляет эвольвенту окружности. Если в таком же случае l скрещивается с осью i под углом, отличным от прямого, геликоид называют конволютным. На рис. 10.4 показано образование поверхности прямого

закрытого гелиноида с определителем Ф(l,m,i); А(lÇi, l^i).

Винтовые поверхности нашли широкое применение в технике. Это- поверхности деталей резьбовых соединений (гаек, болтов, винтов и т.д.) винтовых зубчатых колес, деталей червячных и винтовых передач, шнеков, гребных и воздушных винтов и многих других механизмов.

Вопросы для самопроверки к лекции 10:

1. Назовите термины, характеризующие поверхность вращения

2. Какие поверхности, образованные вращением прямой линии, Вы знаете?

3. Назовите поверхности, образованные вращением кривых второго порядка?

4. Что входит в определитель винтовых поверхностей?

ЛЕКЦИЯ 11