Линейчатые поверхности параллельного переноса

Эти поверхности образуются прямой линией при ее движении по двум направляющим. В этом случае определитель линейчатой поверхности примет вид: Ф(m,n) [A], где m и n направляющие, а [A] содержит указание, что прямолинейная образующая во время движения все время остается параллельной некоторой плоскости S (плоскости параллелизма).

Из большого разнообразия поверхностей этого вида рассмотрим только поверхности Каталана, нашедших широкое применение в технике (Каталан, бельгийский математик исследовавший свойства указанных поверхностей).

Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих m и n и положение плоскости параллелизма S.

1. Поверхность прямого цилиндроида (рис. 9.5).

Рис.9.5

Поверхность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда направляющая m и n гладкие кривые линии, причем одна из них принадлежит плоскости S¢, перпендикулярной плоскости параллелизма S.

 

2. Поверхность прямого коноида.

Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая.

3. Поверхность гиперболического параболоида (косая плоскость). Она может быть получена скольжением прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма.

4. Плоскость. Образуется, если направляющие прямые m и n пересекаются или параллельны.

Рассмотренные поверхности используются при конструировании воздухопроводов большого диаметра, в гидротехническом строительстве при формировании поверхностей мостовых опор и пр.

 

Линейчатые поверхности с одной

Направляющей (торсы)

Линейчатая поверхность, образованная множеством касательных к пространственной кривой, называется торсовой или поверхностью с ребром возврата (рис.9.6). Если такую поверхность пересечь некоторой плоскостью Г, то в сечении

Рис.9.6

получится плоская кривая линия k с точкой возврата М, отсюда название линии m как ребра возврата.

Важным свойством торсовых поверхностей является то, что все они могут быть совмещены всеми точками при развертывании с одной плоскостью, при этом прямолинейные образующие пересекаются в собственной точке М или в несобственной точке М_¥. Если прямолинейные образующие пересекаются в несобственной точке М_¥, то ребро возврата m преобразуется в несобственную кривую m_¥ и в определителе поверхности Ф(m)[A] алгоритмическая часть [A] обусловливает параллельность всех образующих, поверхность становится цилиндрической.

Если все прямолинейные образующие торсовой поверхности пересекаются в одной собственной точке М, то такая поверхность будет являться конической.

Если ребро возврата превратить в плоскую кривую, то касательные а_i будет лежать в одной плоскости, то есть торсовая поверхность преобразуется в плоскость.

 

Вопросы для самопроверки к лекции 9:

1. Как можно определить порядок поверхности?

2. Как можно задать на чертеже поверхность?

3. Дайте определение определителю поверхности?

4. Как классифицируются поверхности по виду образующей и по закону ее перемещения?

5. Каким может быть определитель линейчатых поверхностей?

6. Что такое поверхности параллельного переноса?

7. Дайте характеристику торсовой поверхности?

ЛЕКЦИЯ 10

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

10.1. Определение и термины

В природе существует множество тел вращения: планеты и звезды, детали машин и механизмов, предметы быта.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением некоторой линии (образующей) вокруг неподвижной оси.

Поверхность вращения однозначно определяется осью i и образующей l. Поэтому ее определитель записывается так: Ф(i,l).

Рис.10.1

На чертеже поверхность вращения Ф(i,l) задается проекциями оси i и образующей l (рис.10.1).

Построение проекции точки АÎФ целесообразно выполнять проведением окружности m, полученной сечением поверхности Ф плоскостью Г, перпендикулярной ее оси i. Окружность m определяется центром О=iÇГ и радиусом r=O₁L₁, где L=lÇГ.

Сечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными ее оси, называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом называется экватором. Параллель с наименьшим радиусом называется горловой окружностью (горловинной).

Сечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ее ось, называются меридианами. Меридиан, принадлежащий плоскости уровня, называется главным.

Семейство параллелей и меридианов образуют сетчатый каркас поверхности вращения. Через произвольную точку А поверхности вращения проходят единственные параллель и меридиан, пересекающиеся под прямым углом.

Если образующая l - алгебраическая кривая, то поверхность вращения Ф(i,l) также будет алгебраической. Порядок поверхности вращения зависит от порядка ее образующей.

 

Поверхности, образованные

Вращением прямой линии

При вращении прямой l вокруг второй прямой i (оси вращения) образуется линейчатая поверхность вращения второго порядка:

если lÇi - коническая поверхность вращения,

если l||i - цилиндрическая поверхность вращения.

если l¸i - однополостный гиперболоид вращения.

Первые две поверхности известны из программы средней школы. Поэтому остановимся на изображении гиперболической поверхности.

Пример. Построить главный меридиан однополостного гиперболоида вращения Ф(i,l)(рис. 10.2)

Главный меридиан m строится как множество точек `1,1;`2,2;..... пересечения параллелей, описываемых точками 1.2.... образующей l, с плоскостью SÉi главного меридиана. При этом точка 1 образующей l, ближайшая к оси вращения i, описывает горловую окружность q. Однополостный гиперболоид симметричен относительно плоскости горловой окруж-

Рис.10.2

ности q. Поэтому для построения точек главного меридиана достаточно взять точки на половине прямой l.

Однополостный гиперболоид Ф содержит два семейства прямолинейных образующих - последовательных положений образующей l и симметричной ей прямой l¹. Очевидно, образующие одного семейства между собой не пересекаются, а образующие разных семейств пересекаются между собой. Это свойство образующих однополостных гиперболоидов было использовано талантливым русским инженером, почетным членом Академии наук СССР Шуховым В.Г. (1853-1939 гг.) для проектирования легких и жестких конструкций радиомачт, башен, градирен и т.д.