Максимумы и минимумы функции.

Определение. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x ₀ максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x ₀ – δ, x ₀ + δ), содержащейся в промежутке [ a, b ], где задана функция, что для всех ее точек x выполняется неравенство f (x) < f (x ₀) (или f (x) > f (x ₀)).

Иными словами, точка x ₀доставляет функции f (x) максимум (минимум), если значение f (x ₀) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x ₀.

Если функция имеет максимумы в точках x ₀и x ₁, то, применяя к промежутку [ x ₀, x ₁]2-ю теорему Вейерштрасса (гл.1, §12, п.12.9) видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x ₂между x ₀и x ₁ и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В случае, когда функция имеет конечное число максимумов и минимумов, они попросту чередуются.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экстремальными значениями функции.

Укажем метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 1(необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция f (x) имеет в точке x = x ₀ максимум или минимум, то ее производная в этой точке обращается в нуль, т.е. = 0.

Доказательство этой теоремы достигается применением к промежутку (x ₀ – δ, x ₀+ δ), о котором была речь выше, теоремы Ферма (§4, п.4.2).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f (x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль (касательная параллельна оси Oх, рис.18, точки x = ξ ₁ и x = ξ ₂ и рис.25, точки x = x ₁и x = x ₂). Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум. Так, на рис.25 изображена функция, у которой при x = x ₃ производная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет, ни максимума, ни минимума, а налицо перегиб, так как касательная пересекает кривую.

Точки, в которых производная существует и равна нулю, называются стационарными.

Если расширить класс рассматриваемых функций f (x) и допустить, что в отдельных точках производная равна бесконечности или вовсе не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек. Например, функция, изображенная на рис.25, очевидно, имеет максимум при x = x ₅, в то время как производная ее в этой точке равна ∞; точно также в точке x = 0 имеет максимум функция у = –| x |, хотя производной для нее в этой точке не существует. Следовательно, и точки, в которых производная бесконечна или не существует, также могут доставлять функции экстремум. Но, разумеется, и в этом случае также – одно лишь отсутствие производной или обращение ее в бесконечность не гарантирует наличия экстремума. Примерами могут служить функции и (с дополнительным условием y = 0 при x = 0). Первая из них имеет бесконечную производную в точке x = 0 (см. также рис.16,б, кривые (1) и (2)), вторая же вовсе не имеет производной в этой точке, но точка x = 0 не доставляет экстремума ни той, ни другой функции (ибо в любой ее окрестности обе функции принимают и положительные и отрицательные значения).

Рис. 25

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в трех случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо бесконечности; либо в тех точках, где производной не существует.

Значения аргумента, при которых производная обращается либо в нуль, либо в бесконечность, либо вовсе не существует, называются критическими точками или критическими значениями.

Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой – либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремума функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.

Исследование функции в критических точках опирается не следующие теоремы.

Теорема 2(достаточные условия существования экстремума). Пусть функция f (x) непрерывна в некоторой окрестности (x ₀ – δ, x ₀+ δ), точки x ₀. Если во всех точках этого интервала (по крайней мере, для x = x ₀) существует конечная производная и как слева от x ₀, так и справа от x ₀ (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I. > 0 при x < x ₀ и < 0 при x > x ₀, т.е. производная при переходе через точку x ₀ меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке (x ₀ – δ, x ₀), функция f (x) возрастает, а в промежутке (x ₀, x ₀+ δ), убывает, так что значение f (x ₀) будет наибольшим в промежутке (x ₀ – δ, x ₀+ δ), т.е. в точке x ₀ функция имеет максимум (рис.25, x ₀ = x ₁).

II. < 0 при x < x ₀ и > 0 при x > x ₀, т.е. производная при переходе через точку x ₀ меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке x ₀ функция имеет минимум (рис.25, x ₀ = x ₂).

III. > 0 как при x < x ₀, так и при x > x ₀, либо же < 0 и слева и справа от x ₀, т.е. при переходе через x ₀, не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает; в любой близости от x ₀ с одной стороны найдутся точки x, в которых f (x) < f (x ₀), а с другой – точки x, в которых f (x) > f (x ₀), так что в точке x ₀никакого экстремума нет (например, рис.25, x ₀ = x ₃ – точка перегиба).

Итак, мы получаем первое правило для исследования критической точки на экстремум: подставляя в производную сначала x < x ₀, а затем x > x ₀, устанавливаем знак производной поблизости от точки x ₀ слева и справа от нее; если при этом производная меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус на плюс, то – минимум; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

В тех случаях, когда критическая точка x ₀– стационарная, т.е. = 0 и в некоторой окрестности точки x ₀существует непрерывная вторая производная тогда при разыскании экстремумов исследование знака первой производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой этой точке; покажем это.

Итак, пусть функция f (x) не только имеет производную в окрестности точки x ₀, но и вторую производную непрерывную в некоторой окрестности точки x ₀. Точка x ₀ – стационарная, т.е. = 0. Если > 0, то, по теореме о сохранении знака непрерывной функции (гл.1, §12, п.12.9, теорема 1) и условия монотонности функции (гл.3, §4, п.4.2.2, теорема 2) – функция в окрестности точки x = x ₀возрастает, т.е. вблизи точки x ₀ слева < = 0, а справа > = 0. Таким образом, производная меняет знак минус на плюс и, следовательно, f (x) имеет в точке x = x ₀минимум. Если < 0, то в точке x = x ₀убывает, меняя знак плюс на минус, так, что налицо максимум.

Таким образом, можно сформулировать второе правило для исследования стационарной точки x ₀ на экстремум: подставляем x ₀ во вторую производную ; если > 0, то функция имеет минимум, если же < 0, то – максимум.

Второе правило ничего не дает, когда вторая производная в точке x ₀ обращается в нуль. В этом случае решение вопроса зависит от поведения высших производных. Если , то из теоремы 1, гл.1, §12, п.12.9 и теоремы 3, гл.3, §7, п.7.1 следует, что точка x ₀ есть точка перегиба. Если же , а , то в точке x = x ₀имеет место экстремум: при – минимум, а при – максимум.

Для большей общности предположим теперь, что не только , но и все производные до (n – 1) – го порядка включительно от функции f (x) обращаются в нуль при x = x ₀: = =... = = 0,

между тем как .

Тогда справедливо следующее третье правило: если первая из производных, не обращающихся в точке x ₀ в нуль, есть производная нечетного порядка (n = 2 m – 1, m N), функция не имеет в точке x ₀ ни максимума, ни минимума (при m ³ 2, в точке x = x ₀имеет место перегиб). Если такой производной является производная четного порядка (n = 2 m, m N), функция в точке x ₀ имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.

Поставим теперь вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего из всех значений, которые непрерывная функция f (x) принимает на промежутке [ a, b ]; по 2-ой теореме Вейерштрасса (гл.1, §12, п.12.9), такие наибольшие и наименьшие значения существуют.