Условие монотонности функции

Теорема 1. Для того чтобы дифференцированная на интервале(a, b) функция f (x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство. Достаточность. Пусть всюду на интервале (a, b). Требуется доказать, что f (x) не убывает (не возрастает) на интервале (a, b). Пусть х ₁ и х ₂ – любые две точки интервала (a, b), удовлетворяющие условию х ₁< х ₂. Функция f (x) дифференцируема (а стало быть и непрерывна) всюду на сегменте [ х ₁, х ₂]. Поэтому к f (x) можно применить на сегменте [ х ₁, х ₂] теорему Лагранжа, в результате чего получим

f (x ₂) – f (x ₁) = (х ₂ – х ₁) f' (ξ), где х ₁ < ξ < х ₂.

Отсюда (так как по условию f ' (ξ) ≥ 0 (≤ 0), (х ₂ – х ₁) > 0) получаем

f (x ₂) ³ f (x ₁) (f (x ₂) ≤ f (x ₁)), что и доказывает неубывание (невозрастание) f (x) на интервале (a, b).

Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что (≤ 0) всюду на этом интервале. Придадим аргументу х приращение Δ х и рассмотрим отношение .

Так как f (x) функция неубывающая, то

f (x + Δ х) ³ f (x) при Δ х > 0 и f (x + Δ х) ≤ f (x) при Δ х < 0.

В обоих случаях

,

а, следовательно,

,

что и требовалось доказать.

В рассмотренном случае для монотонной функции f (x) не была исключена возможность сохранять в некоторых промежутках и постоянные значения, а для ее производной – обращаться в этих промежутках тождественно в нуль. Если мы эту возможность исключим, то придем к случаю монотонного возрастания (или убывания) в строгом смысле.

Теорема 2. Для того, чтобы функция f (x) возрастала (убывала) на интервале (а, b), достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство достаточности в предыдущей теореме 1. Пусть х ₁ и х ₂ – любые две точки интервала (а, b), удовлетворяющие условию х ₁ < х ₂. Записывая для сегмента [ х ₁, х ₂] формулу Лагранжа, получим f (х ₂) > f (х ₁), так как на этот раз .

Замечание. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной на интервале (а, b) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f (x) на интервале (а, b). Так, функция возрастает на интервале (0,4), но производная этой функции = 3(х – 2)² не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке х = 2). Вообще, легко доказать, что функция f (x) возрастает (убывает) на интервале (а, b), если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта производная равна нулю.

Установленную теоремой 2 связь между знаком производной и направлением изменения функции легко понять из геометрических соображений. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x), знак производной указывает, острый или тупой угол с положительным направлением оси Oх составляет луч касательной, лежащий в верхней полуплоскости, т.е. наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею – идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис.20).

Однако в отдельных точках x = x ₀ касательная при этом может оказаться и горизонтальной (рис.20), т.е. производная – даже в строгом смысле – монотонно возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений x = x ₀ обращаться в нуль.

Рис. 20

4.3. Формула Коши (обобщенная формула конечных приращений)

В этом пункте мы докажем теорему, принадлежащую Коши и обобщающую установленную выше теорему Лагранжа.

Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x): 1) непрерывны на сегменте [ a, b ], 2) существуют конечные производные и в каждой точке интервала (а, b), 3) производная функции g (x) на интервале (а, b) не обращается в нуль, тогда в интервале (а, b) найдется такая точка , что справедлива формула

, (3.36)

т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке . Формулу (3.36) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.