Установление функциональной зависимости

В этом разделе будет изложен способ воспроизведения функциональной зависимости между двумя переменными величинами х и у с помощью полинома.

Пусть в результате измерений в некотором опыте или наблюдении получены при разных значениях переменной величины (далее будем считать, что эти значения переменной величины пронумерованы в порядке возрастания, т.е. ) соответствующие значения переменной величины . Это соответствие можно представить в виде таблицы

х				...	...
у				...	...

Эту таблицу можно изобразить также и в виде n точек геометрического пространства , для которых упорядоченные пары (х_i, y_i), i = 1,2, …, n являются координатами этих точек в прямоугольной системе координат. Данную таблицу можно рассматривать как задание некоторой функциональной зависимости y = f (x) между переменными величинами х и у. Возникает задача воспроизведения функциональной зависимости y = f (x) между переменными величинами х и у в аналитическом виде.

Аналитическое выражение этой зависимости y = f (x) будем искать среди функций наиболее простого вида – полиномов. Искомый полином

должен удовлетворять условиям

, (3.54)

т.е. график его должен проходить через точки (рис.21).

Рис. 21

Из этих условий, представляющих собой систему п уравнений можно определить п коэффициентов полинома, а потому L_k (x) является полиномом степени, не выше, чем , т.е. k ≤ :

. (3.55)

После того, когда коэффициенты, а, следовательно, и сам полином будут найдены, то тогда можно приближенно находить значение функции (т.е. устанавливать соответствие между переменными величинами х и у) в точках х,которые лежат между точками x ₁, x ₂, …, x_n.

Нахождение значений функции у = для значений аргумента х,которые лежат между точками x ₁, x ₂, …, x_n ,называется интерполяцией; числа x ₁, x ₂, …, x_n называются интерполяционными узлами, а полином – интерполяционным полиномом.

Чтобы найти интерполяционный полином , надо найти его коэффициенты: . Для нахождения этих n неизвестных коэффициентов в соответствии с условием (2), имеем систему n линейных уравнений

. (3.56)

Так как согласно условию все интерполяционные узлы разные, поэтому определитель этой системы

отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система совместна и имеет единственное решение при любых значениях у_i (i = 1,2,… n) в правых частях системы (система Крамера), т.е. коэффициенты интерполяционного многочлена находятся однозначно. Находя коэффициенты , из системы (3.56) и подставляя их значение в (3.55), получим искомый интерполяционный полином .

Пример. Построить полином не выше второй степени, который бы в точках x ₁ = –1, x ₂ = 0, x ₃ = 3 приобретал бы, соответственно, значения y ₁ = 13, y ₂ = 6, y ₃ = 9. Другими словами, искомый полином

должен быть построен в соответствии с таблицей

x	–1
y

Для нахождения неизвестных коэффициентов , аналогично общему случаю (3.56) получаем систему уравнений

(3.57)

Из второго уравнения этой системы сразу находим c ₀ = 6.

Подставляя это значение с ₀ в другие два уравнения системы (3.57) и сделав упрощения, приходим к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными

и отсюда получаем . Таким образом, искомый полином

.

Действительно,

Хотя этот способ нахождения интерполяционного полинома можно использовать во всех случаях, однако если число n большое, то решение системы (3.56) делается громоздким и занимает много времени.

Существует другой способ нахождения полинома , указанный Лагранжем, в котором нет необходимости решать систему уравнений (3.56).

Пусть соответствие между значениями переменных величин х и у задается таблицей

x	x 1	x 2	x 3	…	xk	…	…	xn
y	y 1	y 2	y 3	…	yk	…	…	yn

Необходимо построить интерполяционный полином , степени не больше n – 1 и для которого выполнены условия

. (3.58)

Будем искать полином в виде

= y ₁ l ₁(x) + y ₂ l ₂(x) +…+ y_kl_k (x) +…+ y_nl_n (x), (3.59)

где l_k (x), k = 1,2, …, n – полиномы степени не выше n – 1 и свойства, которых можно выразить так: в интерполяционном узле х = х_k полином l_k (x_k) равняется 1, а в других узлах l_k (x_j), где равняется нулю. Иначе говоря

(3.60)

причем . Требование (3.60) совместно с (3.59) обеспечивает выполнение условий (3.58).

Полиномы l_k (x) составим следующим образом:

l_k (x) = .

В числителе у этих полиномов отсутствует множитель (x – x_k), а в знаменателе – (x_k – x_k) для всех k = 1,2, …, n.

Легко убедиться, что данные полиномы есть полиномы степени не выше n – 1 и удовлетворяют требованию (3.60). Теперь подставляя их в (3.59) получим искомый полином

,

который дает решение поставленной задачи и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Представим интерполяционный полином Лагранжа в более компактном виде. Для этого введем полином , который определяется равенством

= (х – х ₁)(х – х ₂)…(х – х_{k- 1})(х – х_k)(х – х_{k+ 1})…(х – х_n).

Продифференцируем этот полином по х:

.

При x = x_k (k = 1,2,…, n) имеем

(х_k – х ₁)(х_k – х ₂)…(х_k – х_{k- 1})(х_k – х_{k+ 1})…(х_k – х_n).

Тогда интерполяционный полином Лагранжа примет вид

= .

Окончательно

= . (3.61)

В качестве примера рассмотрим два частных случая полинома Лагранжа.

При n = 2 имеем две точки (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂), и полином Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две эти точки:

.

При n = 3 получим уравнение параболы , проходящей через три точки (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂) и (х ₃, у ₃):

.

 

Аппроксимация функций

В этом разделе наряду с формулой Тейлора будет изложен еще один способ приближенного изображения (аппроксимации) функции с помощью полинома.

Пусть функция у = f (x) заданна на промежутке [ a, b ]. Выделим здесь произвольно п интерполяционных узлов x ₁, x ₂,…, x_n.

Построим интерполяционный полином Лагранжа степени не выше n – 1, который бы в этих узлах приобретал те же значения, что и функция f (х), т.е.

. (3.62)

Интерполяционный полином Лагранжа определяется равенством (3.61)

= = . (3.63)

Свойства полинома Лагранжа , выраженные равенствами (3.62), геометрически означают, что график полинома Лагранжа у = (рис.22, пунктирная кривая) имеет в интерполяционных узлах x ₁, x ₂,…, x_n такие же ординаты, что и график функции y = f (x) (рис.22, сплошная кривая).

Поскольку полином Лагранжа принимают за приближенное выражение для f (x),возникает потребность найти ошибку приближенного равенства .

Рис. 22

Геометрическое значение такое же, как и для остаточного члена формулы Тейлора: есть отрезок ординаты МN,расположенный между графиками функции f (х) и полинома в точке х,взятой со знаком плюс, если график f (х) в точке х проходит выше графика (рис.22), и со знаком минус, если ниже.

Теорема. Пусть на промежутке [ a, b ] для функции f (x)существуют последовательные производные и пусть интерполяционные узлы лежат в промежутке [ a, b ]. Тогда можно найти, по крайней мере, одну такую точку х = ξ, которая лежит в промежутке [ a, b ],что выполняется равенство

(3.64)

для всех х,которые лежат в промежутке [ a, b ].

Доказательство. Пусть точка х зафиксирована на промежутке [ a, b ] и не совпадает ни с одним из интерполяционных узлов. Рассмотрим вспомогательную функцию

. (3.65)

При этих условиях вспомогательная функция Н (z) имеет на [ a, b ] (n + 1) корней и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков ,

. (3.66)

Применяя теорему Роля к каждому из этих отрезков убеждаемся, что производная , имеет не менее п корней в п разных точках ,

расположенных внутри отрезков ,таких что .

Применив теорему Ролля к производной , мы убеждаемся, что производная имеет п – 1 корней на [ a, b ]. Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке [ a, b ] производная имеет хотя бы один корень, который обозначим через , т.е.

. (3.67)

Найдем из (3.65) . Учитывая, что – полином степени п,а тогда, как установлено ранее, , имеем

. (3.68)

Далее, степень полинома не выше п – 1, и потому . Следовательно

.

Отсюда находим

. (3.69)

Причем, ξ не совпадает с узлами x ₁, x ₂,…, x_n и точкой х. Теорема доказана.

Равенство (3.69) называется интерполяционной формулой Лагранжа с остаточным членом. Остаточный член R_n (x)в этой формуле определяется равенством

.

Отсюда, если известна верхняя граница ,

получим оценку для абсолютной погрешности вычисления значений функции f (х) с использованием интерполяционной формулы Лагранжа

.

Из полученной оценки следует, что чем больше используется интерполяционных узлов, тем выше точность вычисления.

Пример. Функцию

(3.70)

аппроксимировать с помощью интерполяционного полинома Лагранжа , который, в пяти узлах приобретал бы те же значения, что и заданная функция (3.70), и оценить точность этого приближения.

Прежде всего, вычислим значения этой функции в интерполяционных узлах. Из (3.70) находим

Следовательно, полином должен быть построен по таблице

x	–2	–1
y		–1

Поэтому

.

Для и имеем

Таким образом,

и после упрощений получаем .

Далее, для остаточного члена R ₅(x)нужно вычислить .

.

Поэтому для функции этого примера имеет место такая формула интерполяции Лагранжа с остаточным членом

.

Если для вычисления значений функции пользоваться приближенной формулой , то абсолютная погрешность такого вычисления, учитывая, что | | ≤ 1 составит

.

Так, для абсолютная погрешность вычисления составит

0,11.

На рис.23 изображены графики функции (сплошная кривая) и интерполяционного полинома (пунктирная кривая).

Рис. 23

Отметим, что и абсолютная погрешность аппроксимации составляет 0,08.

Для достижения более высокой точности вычисления необходимо

увеличивать число интерполяционных узлов.