Фундаментальная система решений.

 

Совокупность решений однородной системы (2), определенный и линейно независимыми в интервале , называется фундаментальной системой решений в интервале .

Кратко, , , (19).

Теорема:

Система (2) всегда имеет ФСР в области непрерывности коэффициентов системы.

Возьмём и построим решений

,

,

… (20)

,

со следующими начальными условиями:

, ,…, , при

, ,…, , при

…… (21)

, ,…, , при

 

Вронскиан решений (20) в точке равен единице.

Следовательно, совокупность решений (20) линейно независима и является ФСР.

Из доказательства теоремы следует, что фундаментальных систем существует бесконечное множество. Построенная фундаментальная система (21) называется нормированной в точке . Для каждой точки существует только одна нормированная в этой точке ФСР.

 

 

Построение общего решения.

 

Знание ФСР даёт возможность построения общего решения системы (2).

 

Основная теорема:

Если , , есть фундаментальная система решений в интервале , то формулы , (22), где

произвольные постоянные, дают общее решение системы в области , , .

Действительно, система (22) разрешима относительно , так как , кроме этого совокупность функций (22) является решением системы (2), что соответствует определению общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условиям при нужно подставить эти условия в систему (22).

, (230

находим , откуда следует, что , (24) – есть искомое решение.

 

Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную ФСР.

 

Дано , ; (25)

Подставляем поочерёдно решения (25) в ое уравнение системы (2)

, ,

получим

, , (26)

Отсюда определяются все , единственным образом.

Эту систему можно записать:

(27)

 

Пример:

,

,

, ,

 

,

 

 

 

Общее решение неоднородной системы.

 

Теперь рассмотрим неоднородную систему (1): , . (1)

Введём новые функции :

, (28), где - решение неоднородной системы (1).

Подставляя (28) в систему (1), получаем: , (29)

Или, учитывая, что - решение неоднородной системы (1), получаем:

, (30)

(30) – есть однородная система, соответствующая системе (1), общее решение которой имеет вид: , (31)

Таким образом, подставляя (31) в (28) получаем:

, (32)

Это формула есть общее решение системы (1) во всей области задания системы.

 

 

26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

 

Теорема:

Если известна ФСР однородной системы (2), то общее решение неоднородной системы (1) может быть найдено при помощи квадратур.

Будем искать решение неоднородной системы (1) в виде:

, (33)

где ФСР однородной системы (2), а неизвестная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставим (33) в (1), получаем:

или

или

, (34)

Решая систему (34), определитель которой в интервале , получаем

,

, (35)

Подставляя (35) в выражение (33) получаем

, (35)

 

 

Пример:

 

Решая соответствующую однородную систему, получаем:

 

 

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 9: