Первоначальные сведения о граничной задаче.

 

Решить уравнение (1), здесь , при условии

(2).

Функции a(t), b(t) и f(t) – определены и непрерывны на отрезке .

- постоянные.

Условия (2) называются краевыми или граничными условиями, а сама задача (1),(2) – краевой задачей. Для краевой задачи (1),(2) может иметь место любой из трёх возможных вариантов решений:

1. Задача имеет единственное решение.
2. Решение не существует.
3. Существует бесконечное множество решений.

Пример. , - общее решение.

Рассмотрим следующие три краевые задачи с граничными условиями:

1. .

2. .

3. .

В случае 1. имеем единственное решение ; .

В случае 2. решения нет.

В случае 3. бесконечное число решений .

Рассмотрим два способа решения задачи (1),(2), причём будем предполагать, что решение этой задачи существует и единственно.

Ι. Метод “стрельбы”.

Пусть - частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

(3).

- произвольное число, а y₀(t) – решение соответствующего однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям , , - произвольное число.

Тогда при любом с функция (5) - решение уравнения (1), удовлетворяющее первому из условий (2).

Число с выбираем так, чтобы (5) удовлетворяло второму из условий (2).

(6).

, ибо в противном случае краевая задача (1),(2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

При численном решении краевой задачи метод “стрельбы” имеет существенный недостаток. Ошибка вычисления решения x(t): может быть очень большой за счёт слагаемого .

ΙΙ. Решение однородной краевой задачи с помощью функции Грина.

(1),

(7), где .

Будем предполагать, что рассматриваемая краевая задача имеет единственное решение.

Пусть x = x₁(t) – ненулевое решение однородного уравнения , удовлетворяющее первому из условий (7), а x₂(t) – ненулевое решение, удовлетворяющее второму условию (7). Причём x₁(t) и x₂(t) линейно независимые решения. Тогда

(8).

Решение уравнения (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных.

(9).

Для определения функций и получим следующую систему:

(10).

Решая систему (10), получим (11), где . Интегрируя (11), получим:

, где и - постоянные.

(12).

Продифференцируем (12) по t, получим (13).

Потребуем, чтобы (12) удовлетворяло первому из условий (7), получим =0. Аналогично, подставляя (12) во второе условие (7), получим =0.

Итак, (14) или (15),

где или (16)

построенная функция G(t,s) называется функцией Грина краевой задачи. Сама функция Грина от f(t) не зависит.

Функция Грина обладает следующими свойствами:

1) при : G(t,s) удовлетворяет однородному уравнению

2) при t=t₀ и t=t₁: G(t,s) удовлетворяет соответственно первому и второму граничным условиям

3) при t=s: G(t,s) – непрерывна

4) при t=s: производная имеет скачёк, равный 1: │ ─ │ =1.

Свойства 1-3 просто проверяются подстановкой. Докажем свойство 4.

; │ ─ │ = =1.

Построим функцию Грина для краевой задачи .

- общее решение однородного уравнения

- удовлетворяет первому граничному условию.

- удовлетворяет второму граничному условию.