Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка.

 

(1)

и непрерывны в интервале (a,b).

Введем новую неизвестную функцию z по формуле y = y₁ + z, где у₁ – частное решение уравнения (1), т.е.

Þ (2)

Общее решение уравнения (2) даётся формулой:

, где z₁, z₂, …, z_n – ФСР уравнения (2),

а C₁, C₂, …, C_n – произвольные постоянные.

Таким образом,

(3)

Эта формула представляет общее решение уравнения (1) в области (a,b), |y|<¥, |y^/|<¥, …, |y^(n-1)|<¥.

 

Замечание 1:

Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму n слагаемых, т.е. , и если для i=1,2..n, то y = y₁ + y₂ +…+ y_n есть частное решение уравнения

.

 

Замечание 2:

Если известно m частных решений неоднородного уравнения (1)

y₁, y₂,…, y_m, то соответствующее однородное уравнение имеет m-1 частных решений z_k = y_k – y₁, k=2,3…m. Если эти решения линейно независимы в (a,b), то порядок соответствующего однородного уравнения можно понизить на m-1 единиц.

 

 

10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

 

Теорема:

Общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2)

 

 Будем искать общее решение уравнения (1) в виде (3), где {z_i} i=1,2..n – ФСР уравнения (2).

Найдём производные выражения (3), подчиняя их n-1 условиям:

 

, второе слагаемое равно нулю,

, второе слагаемое равно нулю,

…… (4)

 

, второе слагаемое равно нулю,

 

Подставляя (3) и (4) в уравнение (1), получим:

(5)

 

Так как , то окончательно получим

(6)

Итак, для определения С_i(x) получаем следующую систему из n дифференциальных уравнений:

,

,

…… (7)

Система (7) является линейной неоднородной относительно С_i ^/ (x) с определителем равным W(x)¹0 в интервале (a,b).

Решая систему (4) по правилу Крамера получаем:

, i=1,2…n; (8)

где W_{n i} – алгебраические дополнения к элементам n–ой строки определителя W(x).

Из , i=1,2…n; (9)

где C_i– произвольные постоянные, а " x₀ Î (a,b).

Подставляем (9) в выражение (3), получим:

, (10)

Пример:

– общее решение однородного уравнения.

 

Решение неоднородного уравнения ищем в виде:

 

Составим систему для нахождения и :

Þ ,

.

.

 

 

Метод Коши.

 

Укажем ещё один способ построения частного решения уравнения (1).

Пусть {z_i} i=1,2..n – ФСР уравнения L[y]=0 (2)

(3) – общее решение уравнения (2).

Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее следующим начальным условиям:

z = 0, z^/ = 0, …, z^(n-2) =0, z^(n-1) =1 при x = a, где "aÎ(a,b), xÎ(a,b).

 

Это решение (5)

 

Причём , , …, , ,

где , (6)

Докажем, что функция

, (7)

где " x₀ Î (a,b).

 

является частным решением уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т.е. Y = 0, Y^/ = 0, …, Y^(n-1) =0, при x = x₀.

 

Найдём значения производных функции Y(x):

, первое слагаемое = 0,

, первое слагаемое = 0, …… (8)

, первое слагаемое = 0,

и ,

 

Подставим выражение (8) в уравнение (1):

+……

…+ (9)

или

,

Получим тождество для " x, x₀ Î(a,b).

 

Итак, , x Î(a,b).

(7) –называется формулой Коши для неодноролного уравнения.

Очевидно, что Y(x₀) = 0, Y^/ (x₀)= 0, …, Y^(n-1) (x₀)=0.

Таким образом .

 

 

Пример:

– общее решение однородного уравнения.

 

Найдём j (x,a)

z=0, z^/=1 при x = a.

 

 

Þ

– oбщeе решение неоднородного уравнения.

ЛЕКЦИЯ 4: