Построение графиков функции с помощью производной.

Цель работы

 

Научиться исследовать функцию с помощью производной и строить по результатам исследования график

 

Ход работы

Вариант

 

Исследовать функцию и построить её график:

 

2.1.1

 

2.1.2

 

2.1.3

 

2.1.4

 

2.2. Допуск к работе

 

2.2.1 Заполните пропуски

 

А) Если производная дифференцируемой функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке _____________________.

 

Б) Если производная дифференцированной функции _________________ на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

 

В) Если для дважды дифференцируемой функции вторая её производная отрицательна внутри промежутка, то график функции является ______________ на данном промежутке.

 

Г) Если же вторая производная __________________ внутри промежутка, то график функции является вогнутым на данном промежутке.

 

2.2.2 Заполните пропуски

 

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.

2. Определите четность, нечетность функции. (f(-x) = f(x) - ____________________

f(-x) = __________ - нечётная)

3 Найти точки пересечения графика функции с осями координат. (с осью ОХ у = ___, с осью _____ х = 0).

4. Найдите производную функции.

5. Определите стационарные и критические точки производной. Т. е. точки в которых производная равна ________ и не существует.

6. Определите промежутки монотонности (возрастания, _____________) и экстремумы (максимумы и ________________) функции.

7. Найдите значения функции в _________________________ и критических точках.

 

1. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и ____________.

 

9. Для построения графика найдите необходимые дополнительные точки.

 

2.2.3 Дорисуйте схемы

 

А) Б)

 

 

К работе допускается ______________

 

1. Результаты работы

3.1

y =

1) Область определения функции D(f) =

2) Четность, нечетность функции

f(-x) =

_____________________________________________________________________________________

3) Точки пересечения графика функции с осями координат

А) с осью ОХ (у=0)

Б) с осью ОУ (х=0)

4) Первая производная: y’ =

5) Стационарные точки: (y’ = 0)

____________________________________________________________________________________

6) Промежутки монотонности (возрастания, убывания)

Возрастает _______________________

Убывает __________________________

7) Экстремумы:

Максимум: x_max = y_max =

Минимум: x_min = y_min =

8) Вторая производная у ‘’ =

 

Выпукла ____________________

 

Вогнута _____________________

 

9) График функции:

 

х
у

 

3.2

y =

1) Область определения функции D(f) =

2) Четность, нечетность функции

f(-x) =

_____________________________________________________________________________________

3) Точки пересечения графика функции с осями координат

А) с осью ОХ (у=0)

Б) с осью ОУ (х=0)

4) Первая производная: y’ =

5) Стационарные точки: (y’ = 0)

____________________________________________________________________________________

 

 

6) Промежутки монотонности (возрастания, убывания)

Возрастает _______________________

Убывает __________________________

7) Экстремумы:

Максимум: x_max = y_max =

Минимум: x_min = y_min =

8) Вторая производная у ‘’ =

 

Выпукла ____________________

 

Вогнута _____________________

 

9) График функции:

 

х
у

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15

Применение производной для решения задач.

Цель работы

 

1. 1 Научиться применять производную для решения геометрических и физических задач

1.2 Научиться применять производную для приближённых вычислений

 

Ход работы

Вариант

 

Материальная точка движется прямолинейно по закону

1. Найдите скорость в момент времени t = c.

2. Найдите ускорение в момент времени t = c.

3. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

 

4. Напишите уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ =.

 

5. Найдите тангенс угла наклона к оси OX касательной графика функции , проходящей через точку с абсциссой .

 

6. Написать уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ =.

 

7. Вычислите приближенное значение функции при х =

 

8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [ ].

 

9. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением: . Определите, в какой момент времени скорость движения тела будет наименьшей и найдите эту скорость.

 

10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [ ].

 

2.2. Допуск к работе

 

2.2.1. В чём заключается физический смысл производной

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2.2.2. Каков геометрический смысл производной?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.3. Запишите уравнение касательной к графику функции

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2.2.4. Запишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2.2.5. Запишите формулу для вычисления приближённого значения функции

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

 

К работе допускается ______________

 

Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16