Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Определение устойчивости САУ с использованием алгебраического критерия Гурвица, выполняется следующим образом.

Из коэффициентов характеристического уравнения системы строится определитель Гурвица D по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули;

4) количество строк и столбцов соответствует порядку характеристического уравнения

Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения n.

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением:

,

устойчива, если при a₀ >0 положительны все определители ∆₁, ∆₂,...∆ _п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Если n -й определитель ∆ _п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n =1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n =1)

условие устойчивости: а₀ >0 и ∆ ₁ = а₁ >0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n =2)

условие устойчивости:

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n =3)

условие устойчивости:

При n =3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n =4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

При n =4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

.

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆_п-1 были положительными.

Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

При n >5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

 

Пример. Определение степени устойчивости системы по заданной ПФ с использованием критерия Гурвица.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы задана в виде:

W(s) = k/s(T₁s +1)(T₂s +1)

Исследовать устойчивость системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

W_зс(p) = W(p)/[1 + W(p)], ()

где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы. (см.Давыдов 4.1.9)

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение замкнутой системы:

D(p)=0, где D(p) =1+W(s)

при s = p получим:

p(T₁p+1)(T₂p+1)+ k = 0

Раскрыв скобки, получим характеристическое уравнение 3-го порядка:

T₁T₂p³ + (T₁ + T₂)p² + p + k = 0.

Тогда для данного характеристического уравнения имеем следующие коэффициенты:

a₀ = T₁T₂; a₁ = (T₁ + T₂); a₂ = 1; a₃ = k.

Коэффициенты положительны.

Составим матрицу Гурвица, найдем определители этой матрицы.

Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

Δ₁ = a₁, откуда (T₁ + T₂) > 0; т.к. постоянные времени не могут быть отрицательными по физическому смыслу.

Δ₂ = a₁×a₂ − a₀ ×a₃, откуда (T₁ + T₂) − k·T₁·T₂ > 0;

Δ₃ = a₁×a₂×a₃ − a₀× = a₃(a₁×a₂ − a₀×a₃),

откуда a₃ >0, то есть k > 0.

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид:

Из определителя Δ₂ имеем: (T₁ + T₂) > k·T₁·T₂ или

С учетом вышеуказанного можно определить:

1) a_n = 0, k = 0;

2) Δ_n-1 = 0,

3) a₀ = 0, T₁·T₂ = 0.

Используя данный прием, можно определить степень устойчивости системы, зная её ПФ, а также вычислить границы устойчивости замкнутой системы.

ЛЕКЦИЯ № 10