Тема: Переход от алгебраической формы к показательной и тригонометрической, и обратно

Цель: Формирование навыков выполнения перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной и тригонометрической и обратно

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

; (25.1)

; (25.2)

; (25.3)

. (25.4)

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа;

2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней на и на , получим

; . (25.5)

Складывая и вычитая эти равенства, получим

; . (25.6)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

Примеры

Задание 1: Представить в тригонометрической форме числа:

1) ; 2) .

Решение: 1) Здесь , , . Поскольку вектор, изображающий число лежит на положительной полуоси , главное значение аргумента поэтому

или

.

2) Здесь , , . Точка, изображающая число , лежит во II четверти; , . Значит,

или

.

Задание 2: Представить в алгебраической форме числа:

1) ; 2) .

Решение: 1) Подставив значения , в данное равенство, получим .

2) Имеем .

Задание 3: Представить в показательной форме числа:

1) ; 2) .

Решение: 1) Здесь , , , . По формуле получим .

2) Здесь , , , , . По формуле имеем .

Задания для практической работы

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2. Представьте в алгебраической форме числа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

3. Представьте в показательной форме числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

1) ; 2) ; 3) .

5. Найдите действительные числа и , такие, чтобы выполнялись равенства:

1) ;

2) ;

3) .

Контрольные вопросы:

1. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?

2. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, к его алгебраической форме?

3. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его показательной форме и обратно?

Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 229-239].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная:

1.1 Богомолов, Н.В. Математика [Текст]: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И.Самойленко. - 5-е изд. - М.: Юрайт, 2014. - 396 с.

1.2 Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике [Текст]: учебное пособие для бакалавров / Н.В. Богомолов. - 11-е изд. - М.: Юрайт, 2015. - 495 с.

1.3 Шипачев, В.С. Основы высшей математики: учебник и практикум/ В.С.Шипачев.-8-е изд. - М.: Юрайт, 2014. - 447 с.

2.Дополнительная:

2.1 Данко, П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: учеб. пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 8-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2014. – 304 с.

2.2 Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: Учеб. пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 8-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование»», 2014. – 416 с.

 

Учебное издание

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Методические указания по выполнению практических работ

 

 

Составитель