Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Цель: Формирование навыков выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Произведение комплексных чисел и находится по формуле:

, (24.1)

то есть

, . (24.2)

Таким образом, при умножении двух комплексных числе, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел и находится по формуле:

, (24.3)

то есть

, . (24.4)

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.

При возведении комплексного числа в -ую степень используется формула

, (24.5)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула

, (24.6)

где - арифметический корень, .

Степень с комплексным показателем определяется равенством

. (24.7)

Можно доказать, что

, (24.8)

то есть . (24.9)

В частности, при получается соотношение

, (24.10)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный , то есть . В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой: .

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

; (24.11)

; (24.12)

; (24.13)

, где . (24.14)

Примеры

Задание 1: Выполните действия:

1) ;

2) .

Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим

2) По формуле деления комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим

Задание 2: Возвести в степень .

Решение: По формуле Муавра получим

Задание 3: Найти: 1) ; 2) .

Решение: 1) По формуле Эйлера получим

;

2) По формуле (1) получим .

Задание 4: Найти: 1) ; 2) ; 3) , если ; .

Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел, заданных в показательной форме получим

.

2) По формуле деления комплексных чисел, заданных в показательной форме получим

.

3) По формуле возведения комплексных чисел, заданных в показательной форме, в степень получим

.

Задания для практической работы

1. Найдите произведение (ответ записать в тригонометрической форме):

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2. Выполните деление в тригонометрической форме:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Найдите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

4. Дано ; .

Найдите: 1) ; 2) ; 3) .

5. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение комплексного числа.

2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?

3. Какие комплексные числа называются равными?

4. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.

5. Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?

6. Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?

7. По какой формуле извлекается корень -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?

8. Как записывается комплексное число в показательной форме?

9. Что называется тождеством Эйлера?

10. Какие действия выполняются над комплексными числами, заданными в показательной форме? Запишите формулы.

Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 229-239].

Практическая работа №25