Условие параллельности прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Отсюда следует условие параллельности прямых:

.

 

Вопросы для самопроверки

1 Записать канонические уравнения прямой в пространстве и указать геометрический смысл входящих в них параметров.

2 Записать параметрические уравнения прямой.

3 Записать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

4 Записать общие уравнения прямой.

5 Записать формулу, по которой находится угол φ между прямыми.

6 Записать условия параллельности двух прямых.

7 Записать условие перпендикулярности двух прямых.

 

Пример 1. Найти канонические уравнения прямой

Решение

Определим координаты точки прямой. Считая, например, z = 0, получим систему уравнений

Решим данную систему уравнений.

Таким образом, М (2;1; 0) точка принадлежащая прямой.

Найдем направляющий вектор прямой. По условию = (2; 3; 3), = (1; 2; 2). Тогда

= = – + .

Запишем канонические уравнения исходной прямой

.

Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ₀ (1; –2; 3) параллельно вектору . Найти точку Р прямой, которой соответствует значение t = 2.

Решение

Воспользуемся формулами

Так как в данном случае , то параметрические уравнения прямой имеют вид:

При t = 2 получим

Таким образом, Р (5; 6; –7).

 

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 0; – 3) параллельно:

а) вектору = (2; – 3; 5);

б) прямой .

(Ответ: а) ; б) )

2 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

а) М ₁(1; – 2; 1), М ₂(3; 1; – 1);

б) М ₁(1; 3; – 4), М ₂(– 1; 2; – 4).

(Ответ: а) ; б) )

3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; – 1; – 3) параллельно прямой (Ответ: )

4 Составить канонические уравнения прямых:

а)

б)

(Ответ: а) ; б) )

5 Дан треугольник с вершинами в точках А (0; – 2; 5), В (3; 4; 1), С (1; 0; – 5). Составить уравнение медианы АD. (Ответ: )

6 Доказать параллельность прямых:

а) и

б) и

7 Доказать перпендикулярность прямых:

а) и

б) и

8 Найти угол между прямыми:

а) и

б) и ;

в) и

(Ответ: а) cosφ = ; б) cosφ = ; в) φ = 135°.

9 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3; – 1; 2) перпендикулярно к прямым и .

(Ответ: )

10 Выяснить, пересекаются ли данные прямые, и в случае положительного ответа найти точку их пересечения:

а) и ;

б) и

(Ответ: а) пересекаются, (; – ; ); б) не пересекаются)

 

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Углом φ между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями

и Ах + Ву + Сz + D = 0.

Для нахождения угла φ определим угол θ между направляющим вектором прямой = (т, п, р) и нормальным вектором плоскости = (А, В, С) (рисунок 15). Известно, что

cosθ = .

 

Рисунок 15 – Угол между прямой и плоскостью

 

Если направляющий вектор прямой выбрать так, чтобы cosθ > 0, и взять 0 ≤ θ ≤ , то угол φ между прямой и плоскостью дополняет угол θ до . Следовательно, cosθ = cos( – φ) = sinφ. Поэтому

sinφ = .

Числитель взят по абсолютной величине потому, что sinφ ≥ 0.