Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
 2017-09-28 |
 568 |
из
5.00
|
Заказать работу |
Содержание книги
Поиск на нашем сайте
|
|
|
|
3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Положение плоскости в пространстве вполне определяется точкой М 0(x 0; y 0; z 0) и вектором 
= (А; В; С) (А 2 + В 2 + С 2 ≠ 0) перпендикулярным этой плоскости. Ненулевой вектор = (А, В, С) перпендикулярный плоскости называется нормальным вектором плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (x; y; z) и составим вектор 
= (х – х 0; у – у 0; z – z 0) (рисунок 11).
При любом положении точки М на плоскости векторы и 
взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть ∙ = 0. Это уравнение является векторным уравнением искомой плоскости. Записав его в координатной форме, получим равенство
А (х – х 0) + В (у – у 0) + С(z – z 0) = 0, (3.1)
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рисунок 11 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.1)
3.2 Общее уравнение плоскости
Раскрыв в уравнении (3.1) скобки
Ах + Ву + Сz + (– Ах 0 – Ву 0 – Сz 0) = 0
и обозначив величину – Ах 0 – Ву 0 – Сz 0 через D, получим уравнение
Ах + Ву + Сz + D = 0, (3.2)
которое называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости.
1) Если D = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Ах + Ву + Сz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.
2) Если С = 0, то имеем уравнение Ах + Ву + D = 0. Нормальный вектор = (А, В, 0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси ОZ. Аналогично: если В = 0 – параллельна оси Оy, А = 0 – параллельна оси Ох.
3) Если С = D = 0, то плоскость проходит через О (0; 0; 0) и ее нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Значит, плоскость Ах + Ву + = 0 содержит ось ОZ. Аналогично: уравнениям Ах + Сz = 0 и Ву + Сz = 0 соответствуют плоскости, содержащие соответственно оси Оу и Ох.
4) Если А = В = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Сz + D = 0, то есть z = – 
. Плоскость параллельна плоскости Оxy. Аналогично: уравнениям Ах + D = 0 и Ву + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оyz и Оxz.
5) Если А = В = D = 0, то уравнение (3.2) примет вид Сz = 0, то есть z = 0. Это уравнение плоскости Оxy. Аналогично: х = 0 – уравнение плоскости Оyz; у = 0 – уравнение плоскости Оxz.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость общего положения (рисунок 12), то есть плоскость не проходит через начало координат, не параллельна ни одной из осей координат (А, В, С, D ≠ 0). Уравнение этой плоскости можно записать в виде
Ах + Ву + Сz + D = 0. (3.3)
Рисунок 12 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.4)
Так как точка М (а; 0; 0) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.3) Аа + D = 0, откуда А = – 
.
Аналогично: координаты точек N (0; b; 0) и Р (0; 0; с) должны удовлетворять уравнению (3.3), значит, Вb + D = 0 и Сс + D = 0, откуда В = – 
, С = – 
.
Подставив найденные значения А, В, С в уравнение плоскости (3.3), получим
– х – у – z + D = 0.
Сократив это равенство на – D (D ≠ 0) и перенеся свободный член вправо, получим
+ 
+ 
= 1. (3.4)
Уравнение (3.4) называется уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.
|
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpediasu.com 2017-2026 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
