Исследование N – канальной СМО с ожиданием

Цель работы: изучить систему массового обслуживания с ожиданием и ее характеристики.

Краткие теоретические сведения

СМО с N -каналами обслуживает простейший поток требований. При занятости всех n узлов обслуживания поступившее требование ста­вится в очередь и обслуживается после некоторого ожидания. Общее число требований, находящихся в системе на обслуживании и в очереди, обозначим и назовем состоянием си­стемы. При величина k характеризует число занятых каналов в системе, при число занятых каналов равно , а разность определяет длину очереди. Параметр интенсивности обслуживания потока v определяется числом занятых узлов, и в первом случае зависит от состояния системы k, а во втором имеет по­стоянное значение v.

Введем понятие загрузки системы r равное отношению интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания:

.

Отметим, что при интенсивности поступающей нагрузки r, равной или больше числа узлов обслуживания системы N, с вероят­ностью равной 1 постоянно будут заняты все узлы обслуживания и длина очереди бу­дет бесконечной – явление «взрыва». Поэтому, чтобы система могла функционировать нормально и очередь не росла безгранично, необходимо выполнить условие .

Вероятность того, что система в установив­шемся режиме находится в состоянии k (P_k) определяем по формуле (второе распределение Эрланга)

, (22)

где .

 

К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят следующие.

Вероятность наличия очереди P_оч есть вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов:

.

Вероятность занятости всех узлов системы P_зан

.

Среднее число требований в системе М_ТР

.

Средняя длина очереди M_оч

.

Среднее число свободных узлов М_св

.

Среднее число занятых узлов М_зан

.

Среднее время ожидания начала обслуживания Т_ож для требования, поступившего в систему

.

Общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в систему за единицу времени, Т_оож

.

Среднее время Т_тр, которое требование проводит в системе обслуживания

.

Суммарное время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени, Т_стр

.

Порядок выполнения работы

2.1. Построить график вероятности состояний P_k от k для N -канальной СМО с ожиданием, если на вход поступает простейший поток требований с интенсивностью и обслуживание требований производится с интенсивностью , где N_п – номер по списку, m – номер группы, N - число каналов обслуживания. Число каналов обслуживания определяется из таблицы 1.

Таблица 1

N n	1,5,9,13,17,21	2,6,10,14,18,22	3,7,11,15,19,23	4,8,12,16,20,24
N

 

НАПРИМЕР. Для СМО с ожиданием график распределения P_k, построенный в системе MathCad, показан на рис.2.

Рис. 1. График вероятностей P_k

2.2. Определить характеристики качества обслуживания.

1. Вероятность наличия очереди P_k.

2. Вероятность занятости всех узлов системы P_зан.

3. Среднее число требований в системе М_ТР.

4. Среднюю длину очереди M_оч.

5. Среднее число свободных узлов М_св.

6. Среднее число занятых узлов М_зан.

7. Среднее время ожидания Т_ож.

8. Общее время пребывания требований в очереди за единицу времени Т_оож.

9. Среднее время пребывания требований в системе Т_тр.

10. Суммарное время, которое проводят все требования в системе за единицу времени, Т_стр.

2.3. Вывод.

3. Контрольные вопросы

1. Что такое явление «взрыва» в СМО с ожиданием?

2. Определить вероятность любого состояния системы с ожиданием.

3. Дать понятие состояния СМО с ожиданием.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6