Стационарные линейные дискретные цепи

Преобразования дискретных сигналов в процессе их обработки могут выполняться специализированными цифровыми устройствами или универсальными вычислителями (процессорами) под управлением программ; в любом случае удобно считать, что преобразование выполняется некоторой дискретной цепью. Таким образом, дискретной цепи соответствует отображение множества входных (дискретных) сигналов на множество выходных сигналов.

Задать отображение – значит задать эти множества и каждому входному сигналу поставить в соответствие единственный выходной. Как и для аналоговых цепей, для упрощения этой задачи на отображение (цепь) накладываются определенные ограничения.

Прежде всего, положим, что множества входных и выходных сигналов совпадают (рассматривается задача фильтрации), тогда понятие отображения сужается до оператора. Будем также считать, что оператор цепи L{•} линеен, т.е. удовлетворяет принципу суперпозиции

L{ α ₁ x ₁ + α ₂ x ₂} = α ₁L{ x ₁} + α ₂L{ x ₂},

где α ₁, α ₂ – скалярные коэффициенты (вещественные или комплексные)

x ₁= x ₁[ n ], x ₂ = x ₂[ n ] – дискретные сигналы.

Произвольный дискретный сигнал (последовательность) x [ n ] можно представить в виде обобщенного ряда Фурье относительно базиса, состоящего из сдвинутых δ -последовательностей

где отсчеты этого сигнала x [ k ] рассматриваются как постоянные коэффициенты при базисных функциях δ [ n - k ], -∞ ≤ k ≤ ∞. Тогда результат воздействия линейного оператора (линейной цепи) на этот сигнал равен

,

где h [ n, k ] представляет собой отклик цепи в момент времени n на δ -последовательность, имеющую единичное значение в момент времени k.

Если кроме линейности потребовать, чтобы весовая последовательность h [ n, k ] зависела только от разности аргументов, h [ n, k ] = h [ n - k ], то цепь станет инвариантной к сдвигу (стационарной), а формула нахождения выходного сигнала примет форму дискретной свертки

(12.10)

Последовательность h [ n ] называется импульсной характеристикой линейной инвариантной к сдвигу (ЛИС) цепи и является ее исчерпывающей характеристикой, так как позволяет найти сигнал на выходе данной ЛИС-цепи для произвольного входного сигнала.

Необходимо отметить одно важное свойство дискретных цепей, отличающее их от аналоговых. Дискретная свертка представляет не только метод анализа ЛИС-цепи, подобно интегралу Дюамеля для аналоговых цепей, но также алгоритм работы вычислительного устройства.

Рассмотрим ЛИС-цепь при воздействии на ее вход комплексной экспоненциальной последовательности x [ n ] = exp(jωn) при, -∞ ≤ n ≤ ∞, тогда выходной сигнал в соответствии с (12.10)

,

где – комплексная частотная характеристика ЛИС-цепи.

Рассматривая выражение (11.4) как представление произвольного дискретного сигнала x [ n ] суперпозицией несчетного множества комплексных экспоненциальных последовательностей exp(jωn) (ω [- π, π ]), умноженных на весовые коэффициенты (1/2π) X (e^jω), легко видеть, что выходная последовательность получается домножением каждой из них на значение КЧХ:

. (12.11)

Сравнивая выражения (12.11) и (11.4), видим, что спектральная плотность выходного сигнала равна Y (e^jω) = H (e^jω) X (e^jω). Полученное выражение составляет основу спектрального метода анализа ЛИС-цепей.