Вопрос 11. Анализ ПП в нелинейных электрических цепях.

Переходные процессы в нелинейных электрических цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов интегрирования которых не существует. На нелинейные цепи не распространяется принцип суперпозиции, поэтому основанные на нем методы, в частности классический, для расчета данных цепей не применимы.

Переходный процесс в нелинейной цепи может характеризоваться переменной скоростью его протекания в различные интервалы времени. Поэтому понятие постоянной времени в общем случае не применимо для оценки интенсивности протекания динамического режима.

Отсутствие общности подхода к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений обусловило наличие в математике большого числа разнообразных методов их решения, нацеленных на различные типы уравнений. Применительно к задачам электротехники все методы расчета по своей сущности могут быть разделены на три группы:

· Аналитические методы;

· Графические методы;

· численные методы, основанные на замене дифференциальных уравнений алгебраическими для приращений переменных за соответствующие интервалы времени;

Вопрос 12. Анализ электрических цепей на основе метода переменных состояний.

Метод переменных состояния – метод, основанный на описании состояния электрической цепи системой дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных искомых переменных, которые называются переменными состояния. Под переменными состояния обычно понимают токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, потому что через них можно определить любые другие напряжения и токи в цепи.

Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников.

Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других. При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными ѱ () и q() и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий. Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид:

(1)

Здесь X и X’- столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени;

U - матрица-столбец источников внешних воздействий;

Y - столбцовая матрица выходных (искомых) величин;

A - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби;

B - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m);

C - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин k, а столбцов - n);

D - прямоугольная размерностью k×m матрица связи входа с выходом. Начальные условия для уравнения (1) задаются вектором начальных значений X (0). Метод распространяется на непрерывные и на дискретные линейные и нелинейные цепи и системы. Метод переменных состояния часто применяется для расчета разветвленных цепей и цепей со многими входами и выходами.

Применение данного метода расчета потребует решения двух основных задач: 1) составления уравнений состояния цепи и 2) их решения.

Метод составления уравнений состояния цепи:

- с помощью уравнения Кирхгофа

- метод наложения

- топологический метод