Учет ограничений на параметры

Ограничения на параметры как функционалы задачи могут не иметь производных Фреше и могут дифференцироваться лишь по направлениям в функциональном пространстве (по Гато). Функционалы, соответствующие таким ограничениям, записываются следующим образом:

, (6.38)

. (6.39)

Предположим, что для опорного управления максимальное значение функции или ее интеграла достигается на отрезке в момент времени . Трудность вычисления производных функционалов вида (6.38) и (6.39) заключается в том, что при изменении управляющей зависимости на каждой итерации поиска меняется не только максимальное значение функции или ее интеграла, но и время его достижения .

Преобразование исходной задачи в конечномерную позволяет при численном решении аппроксимировать функционалы, дифференцируемые по Гато, несколькими функционалами, дифференцируемыми по Фреше.

В общем случае такая замена производится неоднозначно. Очевидно, что в результате использования этой методики размерность задачи линейного программирования, к многократному решению которой сводится процесс улучшения управления, существенно возрастает в соответствии с увеличением общего числа рассматриваемых функционалов.

В некоторых случаях при формировании управления движением каждый функционал, дифференцируемый по Гато, можно заменять только одним функционалом, дифференцируемым по Фреше. Это позволяет упростить численную процедуру поиска улучшенного управления в условиях наличия многочисленных ограничений вида (6.38) и (6.39).

В соответствии с этим подходом на каждой итерации решения задачи линейного программирования функционалы вида (6.38) и (6.39) заменяются соответственно одним функционалом вида (6.15) или (6.10). Для этого при численном интегрировании траектории движения вычисляются значения функции или ее интеграла на отрезке и фиксируются их максимальные значения и соответствующие этим значениям моменты времени .

В зависимости от вида функции предлагаются два способа учета ограничений на максимальные значения контролируемых параметров траектории.

Первый способ реализуется для функционалов вида (6.38) при их замене на функционал вида (6.15), а также для функционалов вида (6.39) в том случае, если функция имеет вид аналитического выражения, явно не зависящего от управления, то есть, если функционал (6.39) заменяется на функционал вида (6.10).

В этом случае расчет производных осуществляется в соответствии с методикой дифференцирования функционалов вида (6.15) или (6.10). Если значение функционала выходит за пределы назначенного ему ограничения, то каждый компонент вектора управления заменяется в каждом узле аппроксимации на отрезке времени улучшенным по результатам решения задачи линейного программирования (6.16) - (6.18) значением в соответствии с величиной и знаком производной в этом узле. Изменение управления на отрезке ограничивается величиной малой окрестности , которая является параметром численного метода решения задачи линейного программирования. В общем случае величина малой окрестности может быть различной в разных узлах.

Второй способ реализуется для функционалов вида (6.39) в том случае, если функция имеет вид аналитического выражения, явно зависящего от управления, то есть, если функционал (6.39) заменяется на функционал вида

. (6.40)

Улучшение управления на каждой итерации метода последовательной линеаризации производится с учетом возможности непосредственного воздействия на значение контролируемого функционала путем изменения управления в момент времени .

Сначала расчет производных функционалов вида (6.40) осуществляется в соответствии с методикой дифференцирования функционалов вида (6.10). Следует отметить, что для момента времени в выражении функциональных производных (6.13) для функционалов вида (6.40) по каналам управления, которые оказывают непосредственное влияние на рассматриваемые функционалы, преобладающее значение приобретают производные , рассчитанные в соответствии с формулами для частных производных функций по управлению .

Если значение функционала выходит за пределы назначенного ему ограничения, то, как и в предыдущем случае, каждый компонент вектора управления изменяется в каждом узле аппроксимации на отрезке времени по результатам решения задачи линейного программирования (6.16) - (6.18) в соответствии с величиной и знаком полученных производных функционалов по управлению . Изменение управления ограничивается величиной малой окрестности .

Для узла аппроксимации, соответствующего моменту времени , компоненты вектора управления изменяются в соответствии со знаком функциональной производной (при численном расчете после проведения конечномерной аппроксимации роль этой производной выполняет соответствующий коэффициент (6.19)). Однако, допустимое приращение управления по сравнению с величиной малой окрестности существенно увеличивается. Кроме того, поскольку на следующей итерации улучшения управления момент времени может изменить свое положение на отрезке , то для соседних узлов допустимое приращение управления также увеличивается.

Преобразование задачи к конечномерному виду позволяет в зависимости от ее сложности использовать один из следующих приемов фиксирования момента времени , соответствующего достижению контролируемым параметром своего экстремального значения.

Первый прием заключается в фиксировании момента времени после расположения узлов аппроксимации. Этот момент времени выбирается соответствующим узлу с экстремальной величиной функции или ее интеграла. При этом расположение узлов на исследуемом участке траектории производится из соображений, не связанных с проблемами аппроксимации функционалов, дифференцируемых по Гато. В этом случае точность фиксирования положения функционала на отрезке определяется частотой расположения узлов аппроксимации.

Второй прием заключается в фиксировании момента времени в процессе численного интегрирования траектории движения. В этом случае после расположения основных узлов аппроксимации в множество узлов включается дополнительный, момент времени которого соответствует экстремальному значению функции или ее интеграла. В этом случае точность фиксирования положения функционала определяется величиной шага интегрирования траектории движения.