Метод последовательной линеаризации

Математическая модель движения задана в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(6.1)

с начальным условием

(6.2)

где - вектор-функция правых частей уравнений движения размерности , - вектор фазовых координат размерности , - вектор управляющих зависимостей размерности .

Требуется определить управление на отрезке времени для системы (6.1) с начальным условием (6.2), удовлетворяющее ограничениям на управление

при всех , (6.3)

ограничениям на функционалы

(6.6)

и минимизирующее функционалы

. (6.5)

Функционалы и рассматриваются как неявные зависимости управляющих воздействий , поэтому в общем случае запись выражает принципиальную возможность вычислить по известной зависимости .

Рассмотренная задача в частных случаях приводится к основной задаче управления [18], задаче оптимизации управления или многокритериальной задаче.

Метод последовательной линеаризации предназначен для формирования приближенно-оптимального управления при наличии ограничений на функционалы задачи и управляющие зависимости. Метод является типичным методом спуска в пространстве управлений и сводится к построению минимизирующей последовательности управлений. Подробное описание метода последовательной линеаризации, а также вопросов, связанных с его численной реализацией, приведены в [19]. Модификация метода последовательной линеаризации, результаты решения конкретных задач, а также ссылки на работы, результаты которых использованы при написании этого раздела приведены в [23, 24].

Метод последовательной линеаризации состоит в построении последовательности итераций улучшения управления. На каждой итерации вычисляется малое конечное приращение опорного управления , позволяющее перейти к новому улучшенному опорному управлению . В начале работы метода задается начальное приближение опорного управления , которое затем последовательно улучшается в процессе поиска с целью удовлетворения всем условиям задачи (6.3) - (6.5).

Если имеется некоторое опорное управление , то расчет приращения осуществляется следующим образом.

1. Интегрируется система (6.1) с опорным управлением . Вычисляются опорное решение и функционалы задачи , входящие в (6.4) и (6.5).

2. Для опорного закона движения вычисляются функциональные производные от функционалов по управлению

.

3. Вводится малая окрестность опорного управления . При этом должны быть выполнены следующие требования:

во-первых, окрестность опорного управления должна входить в допустимую область изменения управления , то есть ;

во-вторых, в окрестности приращения функционалов должны с достаточной точностью описываться формулами первого порядка

;

в третьих, окрестность должна быть не слишком малой,

чтобы обеспечить быстроту процесса перехода от начального приближения опорного управления к искомому, удовлетворяющему условиям задачи (6.3) - (6.5).

4. Определяется приращение , являющееся решением линейного приближения исходной задачи (6.3) - (6.5) в окрестности опорного закона движения . В соответствии с этим должно удовлетворять следующим условиям

при всех , (6.6)

, (6.7)

,

. (6.8)

5. Проверяется выполнение условий окончания поиска. Если полученное улучшенное управление удовлетворяет всем условиям исходной задачи (6.3) - (6.4), то поиск искомого управления считается законченным. Если условия не выполняются, то рассчитывается следующая итерация улучшения управления, начиная с пункта 1. В качестве опорного принимается улучшенное управление .