Трехмерное неоднородное волновое уравнение

 

Рассмотрим трехмерное неоднородное волновое уравнение

(28)

и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

(29)

Это означает, что в исходном состоянии описываемый объект не был деформирован и покоился. В этом случае деформации этого объекта в последующие моменты времени будут определяться только внешней силой и механическими свойствами объекта.

Чтобы решить поставленную задачу нужно решить однородное уравнение

(30)

но с ненулевой начальной скоростью, равной внешней силе из уравнения (28) в некоторый момент времени τ: :

(31)

При этом τ становится параметром задачи. Иными словами воздействие внешней силы на объект заменяется на сообщение точкам объекта соответствующей скорости в некоторый

Теперь для решения задачи можно воспользоваться формулой (12) из §1, заменив в ней t на , тогда получим

? (32)

Теперь покажем, что функция , определенная формулой

,(33)

является решением неоднородного уравнения (28) при нулевых начальных условиях (29). Действительно, из формулы (33) находим

(34)

Дифференцируя теперь выражение (33) по времени, получим

, (35)

причем внеинтегральный член при равен нулю в силу первого начального условия (31), т.е.

(36)

Дифференцируя ещё раз по t, будем иметь

, (37)

причем здесь внеинтегральный член при в силу первого начального условия (31) равен , т.е.

(38)

Поскольку функция v удовлетворяет уравнению (30), то (38) можно переписать следующим образом

,

а в силу (33) входящий в это выражение интеграл есть Δ u. В итоге получим

,

т.е. функция u удовлетворяет исходному уравнению (28). При этом начальные условия (29) также выполнены в силу (33) и (36).

Подставив в формулу (34) вместо функции её выражение (32), получим

Затем, если введем вместо τ новую переменную интегрирования , то получим

Вводя новые координаты

И учитывая, что , получим

,

и выражение для окончательно запишется в виде

(39)

где D_at – шар радиуса at с центром в точке (x, y, z).

Выражение (39) называют запаздывающим потенциалом, так как при выполнения интегрирования функция g берется не в рассматриваемый момент времени t, а в момент, наступивший раньше на промежуток времени r/a, необходимый для того, чтобы возмущение, распространяясь со скоростью a от точки (ξ, η, ζ), дошло до точки (x, y, z).

Аналогичным образом мы можем получить решение для двухмерного волнового уравнения

(40)

с нулевыми начальными данными

(41)

Это решение имеет вид

(42)

где

Точечный источник

 

Предположим, что свободный член в уравнении (28) отличен от нуля только в небольшой сфере D с центром в начале координат. Тогда при стремлении радиуса этой сферы ε к нулю и при синхронном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения для точечного источника, который начинает действовать с момента по заданной зависимости от времени f (x, y, z, t).

Положим для определенности, что внутри сферы

, (43)

считая по-прежнему

при

Обратимся теперь к формуле (39) и будем считать, что , при этом, очевидно, что достаточно произвести интегрирование по шару D_ε. При ε → 0 величина r будет равна расстоянию от начала координат до точки (x, y, z), т.е. , и мы получим, учитывая (43), что

(44)

Ясно, что при , так как при область интегрирования в интеграле (39) не содержит внутри себя шара D_ε при достаточно малых ε.

Отметим, что при любом выборе функции ω (t) функция (44) удовлетворяет уравнению (28) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся радиально со скоростью а от начала координат. При этом воздействие на точку (x, y, z) в момент времени t зависит только от отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент времени и пришедшего в точку (x, y, z).

В случае уравнения (40) мы должны, так же как и выше, считать, что

при ,

а вместо (43) написать

,

где С_ε – круг с центром в начале координат радиуса ε.

Обращаясь к формуле (42) и переходя к пределу при ε → 0, получим решение для точечного источника на плоскости

(45)

где и