Оператор Гамильтона и дифференциальные операторы второго порядка

Введенные нами дифференциальные операторы удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, который обозначается символом (набла) и рассматривается как символический вектор:

. (12)

Правила действий с этим вектором таковы:

1. Произведение вектора на скалярную функцию U (x,y,z) дает градиент этой функции

(13)

2. Скалярное произведение вектора на векторную функцию А (x,y,z) дает дивергенцию этой функции

. (14)

3. Векторное произведение вектора на векторную функцию А (x,y,z) дает ротор этой функции

. (15)

Перейдем теперь к наиболее важным для нас дифференциальным операторам второго порядка:

1. Оператор Лапласа, который образуется путем последовательного применения оператора градиента и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). В результате получаем скалярную функцию

. (16)

2. Оператор, представляющий собой последовательное применение оператора ротора и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в результате мы получим нулевой вектор:

. (17)

3. Оператор, представляющий собой последовательное применения оператора дивергенции и оператора ротора к векторной функции А (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в этом случае мы в результате получим скаляр:

. (18)

Представленные выше операторы записаны в декартовой системе координат

4. При записи волновых уравнений иногда используют так называемый оператор Даламбера или волновой оператор

(19)

5. Оператор Δ u – вектор:

6. Оператор, представляющий собой последовательное применение оператора ротора и оператора дивергенции к скалярной функции U (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в результате мы получим вектор, равный нулю, а именно:

(20)

7. Оператор, представляющий собой последовательное применения оператора дивергенции и оператора ротора к векторной функции А (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в этом случае мы в результате получим скалярную величину, равную нулю:

(21)

В заключение заметим, что при записи уравнений в частных производных та часть, в которую входят частные производные, часто рассматривают как дифференциальный оператор. При этом используют запись L [ u ] или Lu, например

Г л а в а II. Одномерное волновое уравнение

К волновому уравнению, как уже отмечалось, мы приходим при изучении различных колебательных явлений, которые сопровождаются образованием волн (колебания точек струны, стержня, мембраны; колебания плотности, давления и скорости при распространении звука). В отсутствии внешних сил волновое уравнение имеет вид:

, (1)

где с является постоянной скоростью распространения волны.

Мы начнем знакомство с волновым уравнением с одного из самых простых случаев, а именно с задачи о малых поперечных колебаниях струны без учета затухания.