Тема 5. Введение в математический анализ

 

Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].

Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Решение:

1) .

2) .

Раскроем неопределенность . Так как и , то

.

3) .

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень :

, так как , , при .

4) .

Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:

.

5) .

Сделаем замену , тогда , . Так как , то .

Тогда

, так как – второй замечательный предел.

Пример 10. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

Решение: Функции , , непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.

Рассмотрим поведение функции при :

;

; .

Так как , то заданная функция непрерывна в точке .

Рассмотрим поведение функции при :

; .

Так как пределы и конечны и не равны, то точка – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на единицы).

Сделаем чертеж:

 

Задачи для контрольных работ

 

ВАРИАНТ 1

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 2

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 3

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно асимптотам гиперболы .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 4

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Дана парабола . Найти длину ее хорды, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 5

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 6

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 7

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , ,