Тема 2. Элементы векторной алгебры

 

Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы. [3, §5]. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения. [3, §6]. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. [3, §7]. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения. [3, §8]. Собственные векторы и собственные значения матриц. [4, гл. V, §4].

Пример 3. Дано: , , векторы и составляют стороны параллелограмма . Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма .

Решение: Сделаем схематический чертеж:

1. Найдем длины диагоналей параллелограмма как длины векторов и .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, то есть и . Имеем

.

2. Острый угол между диагоналями параллелограмма найдем по формуле .

Находим скалярное произведение векторов и :

Значит, и .

3. Площадь параллелограмма найдем по формуле .

По свойствам векторного произведения имеем

Значит,

Пример 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды .

Решение: 1. Если , , то вектор .

В данном случае имеем .

Значит, , , .

2. Длина вектора может быть найдена по формуле .

Имеем ; ;

.

3. Покажем, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов:

Так как , то векторы , , образуют базис трехмерного пространства.

4. Острый угол между векторами и найдем по формуле .

Скалярное произведение векторов и найдем, используя формулу: , где , . В данном случае .

Тогда и .

5. Алгебраическую проекцию вектора на вектор найдем по формуле .

Так как , то .

6. Площадь треугольника найдем по формуле .

Векторное произведение векторов и можно найти по формуле .

В данном случае

Тогда , . Значит, .

7. Объем пирамиды найдем по формуле .

Смешанное произведение векторов , и можно найти по формуле .

Тогда . Значит, .

Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение: Собственные значения матрицы находятся из уравнения , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица .

В данном случае ,

.

Решением уравнения являются числа , . Это и есть собственные значения матрицы .

Собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений .

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .

Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .

Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .