Тема 3. Решение задач ОГЭ, нестандартных задач.

Данная тема разделена на несколько уроков, так как важная часть геометрии – это отработка всей полученной теории на практике при решении задач. Ученики в ходе уроков решают задачи из ОГЭ. Далее учитель демонстрирует решение опорной задачи. Однако следует обратить внимание учащихся на то, что задачи внутри данной темы не являются стандартными, они более разнообразны по своему содержанию, что затрудняет работу по алгоритму уже решенной задачи и требует творческого подхода к каждому решению.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет половину площади квадрата со стороной, равной катету. А какова площадь «пиксельного» (составленного из единичных квадратов) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 20? (рис. 3.2 «Пиксельный» треугольник)

Рис.3.2 «Пиксельный» треугольник

Решение задачи:

Первый способ. Если мы возьмем два таких треугольника, то из них можно получить прямоугольник с размером 20х21 (рис.3.3 Прямоугольник)

Рис.3.2 Прямоугольник

Соответственно, площадь треугольника в два раза меньше и равна .

Второй способ. Если рассмотреть обычный не пиксельный треугольник, то можно заметить, что он занимает половину коробки из-за симметрии. Это означает, что часть, которая не занята, симметрична занятой части. Будем рассуждать также для пиксельного треугольника. Если отразить его относительно диагонали, то исходный треугольник будет пересекаться с отраженным.(рис.3.3 Отраженный треугольник)

Рис.3.3 Отраженный треугольник

Но число клеток в пересечении нетрудно найти: все они лежат на диагонали квадрата и их ровно 20 штук. Получаем, что если искомая площадь равна S, то площадь квадрата равна S-20. То есть S

Задача 2.

Треугольник при укладке в коробку перекосило а) Занимает ли он большую, меньшую, или такую же часть площади коробки? б) Можно ли положить треугольник площади 10 в прямоугольную коробку площади 19?(рис.4 Треугольник)

Рис.3.4 Треугольник

Рассмотрим решение данной задачи:

а) Сторона треугольника, которая является самой длинной, делит коробку пополам. Но следует заметить, что треугольника занимает только часть половины коробки.

б) Будем доказывать, что треугольник не может занимать больше половины площади прямоугольной коробки. Для этого нам нужно рассмотреть все случаи расположения вершин, можем считать, что все вершины лежат на сторонах прямоугольника. «Либо на одной из сторон лежат две вершины треугольника – этот случай разобран под а), либо вершины треугольника лежат на трех сторонах, а точнее, на двух сторонах и в углу (рис.3.5 Треугольник 2)

Рис.3.5 Треугольник 2

Тогда коробка разбивается на три части, в каждой из которых треугольник занимает не больше половины площади. (рис.3.6 Треугольник 3)

Рис.3.6 Треугольник 3