Ряд Фурье для непериодической функции

 

Чтобы построить ряд Фурье функции заданной на отрезке , кусочно-непрерывной на , имеющей в каждой точке конечные односторонние производные, воспользуемся следующей с х е м о й:

· Построим функцию , называемую периодическим продолжением функции на всю числовую ось, совпадающую с функцией на и удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле – Дини. Число любое число, удовлетворяющее неравенству: .

· Разложим функцию в ряд Фурье. Этот ряд сходится в любой точке и его сумма вычисляется по формуле:

· Назовем построенный ряд рядом Фурье функции на отрезке . Он сходится и имеет своей суммой число в любой точке где функция непрерывна.

 

З а м е ч а н и е 13. Разлагая в ряд Фурье непериодическую функцию заданную на отрезке , мы имеем возможность по собственному усмотрению, во-первых, варъировать числом (выбирая его из условия во-вторых, доопределять функцию на всю числовую ось различными способами. Это приводит к различным (по внешнему виду) рядам Фурье для функции на , имеющим в любой точке непрерывности функции одну и ту же сумму .

З а м е ч а н и е 14. Любую функцию определенную на отрезке и обладающую там указанными в теореме Дирихле – Дини свойствами непрерывности, можно на этом отрезке разложить как в ряд Фурье вида (17), вида (19), так и общего вида (14). Это объясняется возможностью продления функции на или по закону четности, или нечетности, или какому–либо другому.

З а м е ч а н и е 15. Для решения примеров полезно знание следующих формул, легко получаемых методом интегрирования по частям:

(22)

 

(23)

 

З а м е ч а н и е 16. Ряд Фурье (14) функции можно почленно интегрировать в интервале получая разложение в ряд Фурье функции

 

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

 

П р и м е р 1. Найти ряд Фурье периодической функции которая задается на отрезке равенством

Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 1.

у

p

 

- 3 p -2 p -p О p 2 p 3 p х

Рис. 1

 

Эта функция непрерывна в любой точке и кусочно непрерывно-дифференцируема, так как имеет в точках разрыв первого рода, а в остальных точках – непрерывна.

Следовательно, условия теоремы Дирихле – Дини выполнены при и рассматриваемую функцию можно разложить в ряд Фурье (14), сходящийся в любой точке к числу

Учитывая четность функции ее коэффициенты Фурье вычисляем по формуле (18):

Тогда по формуле (17) находим:

О т в е т:

П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье функцию:

при

Р е ш е н и е. Рассмотрим вспомогательную – периодическую функцию определенную на и совпадающую с на (рис. 2).

у

p

 

- 3 p -2 p -p О p 2 p 3 p х

 

 

-p

Рис. 2

 

Функция является периодической, кусочно–непрерывной и кусочно непрерывно-дифференцируемой. Причем функции и терпят разрывы первого рода в точках вида

Следовательно, ряд Фурье, составленный для функции совпадет при с функцией

Поэтому, учитывая нечетность функции и формулы (20) при получаем:

Значит, по формуле (19) находим искомое разложение:

О т в е т:

 

П р и м е р 3. На интервале разложить в ряд Фурье функцию:

Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 3.

у

p

 

-p О p х

 

- 1

Рис. 3

 

Рассмотрим вспомогательную периодическую функцию график которой изображен на рис. 4.

у

p

 

- 3 p -2 p -p О p 2 p 3 p х

 

- 1 Рис. 4

 

Непосредственно проверяется, что функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле – Дини. По формулам (15) – (16), где найдем коэффициенты ряда Фурье функции

 

 

 

Следовательно, по формуле (14) получаем:

 

Заметим, что при построенный ряд имеет своей суммой число:

При сумма данного ряда равна числу:

О т в е т: ,

П р и м е р 4. Для функции из примера 1 найти сумму ее ряда Фурье.

Р е ш е н и е. Функция , рассматриваемая в примере 1 (ее график см. на рис.1), удовлетворяет всем условиям Дирихле – Дини: периодическая, непрерывная на всей вещественной оси, дифференцируемая во всех точках в точках вида имеет конечные односторонние производные:

Поэтому, используя формулу (21), заключаем:

О т в е т:

 

П р и м е р 5. Для функции из примера 2 найти сумму ее ряда Фурье.

Р е ш е н и е. В данном случае функция является периодической, непрерывной во всех точках вещественной оси, кроме точек терпит разрыв первого рода в любой из точек вида дифференцируемая во всех точках , включая точки разрыва функции . Следовательно, по формуле (21) находим:

если ;

если

О т в е т: если если

П р и м е р 6. Найти сумму ряда Фурье функции периода если

Р е ш е н и е. Графики функции и ее периодического продолжения приведены на рис. 5.

 

у

 

1

- 3 - 1 О 1 3 х

 

Рис. 5

 

а) Найдем коэффициенты Фурье функции Учитывая, что то есть вычисляем:

 

 

Итак, получили разложение:

(24)

 

б) Проверим выполнение условий теоремы Дирихле – Дини:

- функция является периодической с периодом

- функция является непрерывной во всех точках вещественной оси, кроме терпит разрыв первого рода в точках вида

- функция имеет производную во всех точках, кроме В точках она имеет конечные односторонние производные:

Следовательно, по теореме Дирихле – Дини заключаем: ряд Фурье (24) сходится в любой точке и имеет своей суммой функцию вида:

при

График функции изображен на рис. 6.

 

у

 

1

- 3 - 1 О 1 3 х Рис. 6

 

О т в е т: при

 

П р и м е р 7. Разложить в ряд Фурье функцию при

Р е ш е н и е. На рис. 7 представлен график функции с ее продолжением периода

 

 

у

 

3

 

 

-7 -3 О 1 5 9 х

 

-1 Рис. 7

 

 

Для построенной таким образом периодической функции выполнены условия теоремы Дирихле – Дини. Воспользовавшись замечанием 6, где находим коэффициенты Фурье функции

=

 

 

О т в е т:

 

П р и м е р 8. Разложить в ряд Фурье функцию

Р е ш е н и е. График функции изображен на рис. 8.

у

 

3

 

1

-2 О 2 х Рис. 8

 

 

Рассмотрим функцию (см. рис. 9), являющуюся для ее периодическим продолжением, где

у

 

 

 

-6 -4 -2 О 2 4 6 х Рис. 9

 

Нетрудно видеть, что функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле – Дини: периодическая; кусочно–непрерывная; имеет разрыв первого рода в точках вида имеет непрерывную производную во всех точках

Построим ряд Фурье для функции Найдем предварительно его коэффициенты:

Следовательно, получаем:

(25)

 

Ряд (25) сходится и имеет сумму: при

при при

Следовательно, справедливо равенство:

при

 

О т в е т: .

П р и м е р 9. Функцию , заданную на интервале , разложить в ряд Фурье по синусам.

Р е ш е н и е. Рассмотрим вспомогательную функцию график которой изображен на рис. 10.

у

p

 

-p О p 2p 3p х

 

- p

Рис. 10

 

Она периодическая, нечетная. По формуле (20) вычисляем:

 

Следовательно, согласно теореме Дирихле – Дини получаем:

О т в е т:

 

П р и м е р 10. Функцию на отрезке разложить в ряд Фурье по косинусам.

Р е ш е н и е. Рассмотрим периодическую четную функцию график которой изображен на рис.11.

 

у

2

4 - 2О24 х Рис. 11

 

Для нее по формулам (18) находим коэффициенты ряда Фурье:

 

Следовательно, учитывая теорему Дирихле – Дини, получаем:

 

О т в е т:

 

П р и м е р 11. Разложить в ряд Фурье функцию

а) на по синусам; б) на по косинусам; в) на

Р е ш е н и е. а) Чтобы разложить функцию на только по синусам, рассмотрим ее нечетное периодическое продолжение на всю числовую ось (см. рис. 12).

у

2p²

 

 

-3p -p О p 3p х

 

-2p² Рис. 12

 

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

 

 

Следовательно, при справедливо равенство:

б) Чтобы разложить функцию на только по косинусам, рассмотрим ее четное периодическое продолжение на всю числовую ось (см. рис. 13).

у

2p²

 

 

-3p -p О p 3p х Рис. 13

 

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

Следовательно, при для функции справедливо равенство:

в) Для того чтобы функцию разложить на интервале рассмотрим ее периодическое продолжение на всю числовую ось, график которого приведен на рис. 14.

у

 

8p²

 

 

-4p -2p О 2p 4p х Рис. 14

 

Вычислим для этой функции коэффициенты Фурье:

Следовательно, на для функции справедливо представление:

О т в е т: а) б)

в)

П р и м е р 12. Пользуясь разложением функции в ряд Фурье на , найти сумму ряда: а) б)

Р е ш е н и е. Функция , заданная на отрезке и продолженная четным образом, имеет ряд Фурье:

(26)

Следовательно, при из (26) находим:

При формула (26) принимает вид:

О т в е т: а) б)

 

ПРИМЕРЫ

 

Разложить в ряд Фурье функции:

 

1. 2.

3. а) по косинусам, б) по синусам.

4. по косинусам. 5. на по синусам.

6. на 7. на

8. на 9. на

10. и на интервале . Указание: воспользоваться разложением и почленным интегрированием.

♦ ♦ ♦

Разложить в ряд Фурье функции:

 

11. 12.

13. 14.

15. на 16. на

17. по косинусам. 18. на по синусам.

19. на по синусам.

20. Продолжить функцию заданную в интервале так, чтобы ее разложение на имело вид:

ОТВЕТЫ

1. 2.

3. а) б)

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.