Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора

 

Ряды Тейлора и Маклорена широко применяются для приближенных вычислений значений функции пределов, определенных интегралов, решений дифференциальных уравнений. Например, для вычисления значения функцию приближенно заменяют многочленом Тейлора , а затем полагают

О п р е д е л е н и е 6. Функция является в точке бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем функция , если

.

В этом случае пишут: при .

З а м е ч а н и е 6. Символ обозначает л ю б у ю функцию, бесконечно малую в точке , имеющую более высокий порядок малости, чем .

Справедливы с в о й с т в а:

1) , 2) , 3) ,

4) при , 5) .

О п р е д е л е н и е 7. Если при функция представима в виде суммы , где , то говорят, что функция – главная часть функции при .

Основные разложения (11)-(23) позволяют легко выделять главные части многих функций. Например, при имеем:

, ,

, .

Знание главных частей функций часто используется при вычислении пределов.

 

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

 

П р и м е р 1. Для функции найти многочлен Тейлора с центром в точке: а) б)

Р е ш е н и е. Функция дифференцируема по любое число раз на интервале При этом имеем:

Следовательно, по формуле (7) получаем:

….

Поэтому многочлен Тейлора для рассматриваемой функции можно записать по формуле (1):

Таким образом, получаем:

а) при

б) при

О т в е т: а) б)

 

П р и м е р 2. Найти ряд Маклорена для функции

Р е ш е н и е. С п о с о б I. Функция дифференцируема по любое число раз на интервале Вычисляем:

Проверим, что Предположив, что эта формула верна при некотором то есть найдем

Следовательно, согласно методу математической индукции, формула верна при любом натуральном Поэтому получаем:

.

Следовательно, ряд Маклорена для функции имеет вид:

С п о с о б II. Так как то

В этой формуле знак «=» между функцией и ее рядом Маклорена поставлен на основании знака «=» в формуле (11) и свойств степенных рядов в их интервале сходимости.

О т в е т:

 

П р и м е р 3. Разложить функцию по степеням .

Р е ш е н и е. Из формулы (11) получаем заменой на :

.

Поэтому получаем:

О т в е т:

П р и м е р 4. Разложение в ряд Маклорена функцию .

Р е ш е н и е. Так как то, воспользовавшись формулой (16), находим:

О т в е т:

 

П р и м е р 5. Написать разложение функции по степеням

Р е ш е н и е. Обозначим: Тогда справедливо представление:

(24)

Воспользуемся рядом (18) для разложения функции

Следовательно, по формуле (24) находим:

О т в е т:

 

П р и м е р 6. Разложить функцию по степеням .

Р е ш е н и е. Пусть (значит, ). Тогда из основного разложения (11) получаем:

.

Отсюда находим:

.

О т в е т: .

 

П р и м е р 7. Разложить функцию по степеням

Р е ш е н и е. Обозначим: Тогда справедливо представление:

Поэтому с учетом формулы (17) при получаем:

 

 

О т в е т:

П р и м е р 8. Разложить функцию по степеням

Р е ш е н и е. Обозначим: Тогда с учетом формул приведения справедливы равенства:

Поэтому, воспользовавшись разложением (16), получаем:

О т в е т:

 

П р и м е р 9. Разложить функцию по степеням .

Р е ш е н и е. Обозначим: . Тогда и справедливы равенства: . Пусть

.

Тогда, воспользовавшись основным разложением (21), имеем:

. (25)

Так как ряд (21) сходится при и , то разложение (25) справедливо при , удовлетворяющих неравенствам:

О т в е т: .

 

П р и м е р 10. Вычислить с точностью

Р е ш е н и е. Воспользуемся разложением (11) функции в ряд Маклорена. Тогда при получаем:

(26)

Подберем натуральное число так, чтобы погрешность приближенного равенства

где

не превышала Для этого оценим остаточный член ряда (26):

Следовательно, число нужно подобрать таким, чтобы выполнялось неравенство: Пусть, например, тогда

и

Аналогично проверяем: но Следовательно, выбираем: , при этом Тогда приближенно с точностью получаем:

.

О т в е т:

 

П р и м е р 11. Вычислить число с точностью 0,01.

Р е ш е н и е. Воспользуемся рядом Маклорена для функции :

.

Пусть (). Тогда получаем:

.

Напомним, что . Поэтому

. (27)

 

Обозначим:

.

Тогда получим:

, .

 

Следовательно, учитывая, что в (27) фигурирует знакочередующийся ряд и погрешность приближенного равенства не превосходит по модулю числа , заключаем: для вычисления числа с точностью до 0,01 достаточно в равенстве (27) ограничиться первыми четырьмя членами.

Таким образом, получаем:

.

Выполнив указанные действия, находим: .

О т в е т: .

 

П р и м е р 12. Вычислить с точностью 0,0001.

Р е ш е н и е. Предварительно найдем ряд Маклорена для функции

.

Известно, что . Поэтому, пользуясь основным разложением

,

имеем после замены х на (- х):

Эти ряды сходятся абсолютно при . Значит, их можно почленно вычитать. Следовательно, при получаем:

.

Итак, находим:

.

Пусть . Тогда , откуда получаем:

(28)

 

Для полученного ряда вычисляем его остаточный член:

 

;

.

Тогда для вычисления с требуемой точностью 0,0001 достаточно ограничиться в разложении (4) первыми четырьмя членами.

Следовательно, получаем приближенное равенство:

.

О т в е т: 0,69392.

П р и м е р 13. Найти предел: .

Р е ш е н и е. Вычисляем редел:

+0 .

О т в е т: 1/6.

П р и м е р 14. Вычислить предел:

.

Р е ш е н и е. Подстановкой значения убеждаемся, что под знаком предела имеем неопределенность вида . Воспользовавшись разложениями (11) и (15), получаем:

 

О т в е т: 2.

П р и м е р 15. Вычислить интеграл с точностью

Р е ш е н и е. Используя разложение (16), получаем:

 

Тогда, интегрируя почленно данный ряд, находим:

 

(27)

 

Чтобы вычислить сумму ряда (27) приближенно с точностью до воспользуемся тем, что (27) - знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Следовательно, число подберем так, чтобы выполнялось неравенство:

Проверкой устанавливаем, что наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим этому неравенству, является Тогда находим:

 

 

О т в е т: 0,2483.

 

ПРИМЕРЫ

 

Написать три первых члена ряда Маклорена для функций:

 

1. 2. 3.

Написать три первых члена ряда Тейлора для функций:

4. в точке 5. в точке

6. Разложить многочлен по степеням

 

Разложить функции в ряд Тейлора, указать интервал сходимости ряда:

 

7. в точке 8. в точке

Указать ряд Маклорена функций и указать его интервал сходимости:

 

9. 10. 11. 12. 13. 14.

 

Найти ряд Тейлора функций и указать его интервал сходимости:

15. по степеням 16. по степеням

17. по степеням 18. по степеням

19. Вычислить с точностью

20. Вычислить с точностью

♦ ♦ ♦

21. Написать четыре первых члена ряда Маклорена для функции

22. Разложить функцию по степеням и найти интервал сходимости полученного ряда.

23. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область его сходимости.

24. Разложить многочлен по степеням

Разложить функции по степеням и указать интервал сходимости рядов:

25. 27. 26. 27. 28. 29.

Написать разложения функций и указать интервалы сходимости рядов:

 

30. по степеням 31. по степеням

32. по степеням 33. по степеням

ОТВЕТЫ

 

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7.

8.

9. 10.

11. 12.

13.

14. 15.

16. 17.

18. 19. 1,0196. 20. 0,102.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33.

§ 11. РЯДЫ ФУРЬЕ