Углы между взаимными нормальными сечениями и геодезической линией

 

Взаимное расположение нормальных сечений и геодезической линии между вершинами треугольника в общем случае показано на рис. 29.

 

Рис. 29. Углы между взаимными нормальными сечениями и геодезической линией

(113)

 

(114)

- 48 -

где - разность азимутов прямого и обратного нор-

мальных сечений в точке А; - разность азимутов геодезической линии и прямого нормального сечения в точке А; N_m - радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой B_m.

Приведём численные значения расхождений между азимутами взаимных нормальных и азимутами прямого нормального сечения и геодезической линии при В = 0 и А = 45°.

 

S, км	∆"	δ "
	0,36	0,12
	0,09	0,02
	0,023	0,006

 

Углы и азимуты геодезических линий после уравнивания триангуляции 1 класса вычисляются до 0,001". Поэтому поправку δ следует учитывать при математической обработке результатов угловых измерений в государственной триангуляции 1 класса. В триангуляции 2 класса эта поправка не учитывается.

 

VI. Решение сфероидических (сферических) треугольников

Общие сведения

Редукционная проблема - совокупность задач по переходу от непосредственно измеренных величин на поверхности Земли к соответствующим им величинам на поверхности фигуры относимости - на поверхности эллипсоида вращения.

- 49 -

Треугольник, образованный геодезическими линиями на поверхности эллипсоида (сфероида), называется сфероидическим треугольником.

Решить треугольник - это значит определить все его элементы (стороны, углы), в то время как некоторые из них должны быть известны.

Сфероидический треугольник нельзя решить, используя элементарные функции. Сторона сфероидического треугольника, например, в триангуляции 1 класса, имеет длину от 20 до 60 км. В навигации, космической геодезии, при связи геодезических сетей разных стран и континентов стороны треугольников могут достигать сотен километров.

Теоретические расчёты показывают, что, если необходимо решить треугольник с относительной ошибкой в длинах его сторон 10^-8, то сфероидический треугольник можно рассматривать как сферический, если его стороны не превышают 240 км. Сумма внутренних углов сферического треугольника (А + В + С) равна 180° + ε, где ε - сферический избыток.

В связи с этим в геодезической практике применяют специальные методы решения этих треугольников: по теореме Лежандра и способу аддитаментов.

 

1. Решение сферического треугольника по теореме Лежандра

 

 

Рис. 30. Теорема Лежандра

 

Способ сферических избытков, предложенный А. Лежандром в 1787 г. (теорема Лежандра), состоит в следующем: каждый из углов сферического треугольника А, В и С уменьшают на одну треть сферического избытка ε. В результате этого получают углы плоского треугольника А₁, В₁ и С₁ и,

 

 

- 50 -

оставляя стороны a, b, c сферического треугольника без изменений, решают его как плоский по теореме синусов (рис. 30). Другими словами, от исходного сферического треугольника переходят к соответствующему плоскому треугольнику с теми же сторонами, но с исправленными углами.

 

Рабочие формулы

;;; (115)

 

 

(116)

 

(117)

 

(118)

 

- средний радиус кривизны эллипсоида для средней

 

широты B_m.

 

(119)

 

Пример 1. Решение сферического треугольника АВС звена триангуляции 1 класса, если даны измеренные, приведённые к центрам знаков и спроецированные на поверхность эллипсоида его углы

А = 50°20'19,41'', В = 62°12'44,54'', С = 67°26'58,43'' и

сторона b = 44 797,282 м. Средняя широта треугольника B_m =48°12'

(см. рис. 30).