Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости

 

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

 

Пусть

и

тогда определена новая функция собственный интеграл, зависящий от параметра у.

Необходимо охарактеризовать свойства функции в зависимости от свойств функции

 

2. Теорема о непрерывности

 

Теорема 1. Если то

Доказательство. равномерно непрерывна на D и

равномерно непрерывна на

Доказано.

 

3. Теорема об интегрируемости

 

Теорема 2. Если то и

повторный интеграл.

Доказательство. Пусть Докажем, что

 

(к каждому интегралу применим теорему о среднем: ) =

Т.к. то в силу равномерной непрерывности на D и

Доказано.

 

4. Теорема о дифференцируемости

 

Теорема 3. Если

Замечание.

Доказательство. Имеем

или или

и

Доказано.

 

 

ЛЕКЦИЯ 9

Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

 

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла,

зависящего от параметра

 

Пусть

несобственный интеграл сходится Тогда определена функция несобственный интеграл, зависящий от параметра. Сходимость несобственного интеграла означает существование предела

Для определения предела существуют два эквивалентных подхода:

1) определение предела по Коши:

 

2) определение предела по Гейне:

Определим условие поточечной сходимости интеграла на отрезке

Дадим определение равномерной сходимости.

Несобственный интеграл сходится равномерно на отрезке (по Коши)

т.е.

(по Гейне)

 

2. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса

 

Критерий Коши:

сходится равномерно на отрезке

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса:

если мажоранта функции f по у, и

сходится, то сходится на равномерно.

Доказательство. Если сходится (по критерию Коши)

(по критерию Коши) сходится равномерно.

Доказано.

 

Пример.

сходится.

Данный интеграл сходится равномерно.

 

3. Признаки Абеля, Дирихле

 

Рассмотрим равномерную сходимость интегралов вида (*)

 

Признак Абеля.

Если

1)

2)

3) сходится равномерно на отрезке

то (*) – сходится равномерно на

Признак Дирихле.

Если:

1) монотонная;

2) т.е.

3)

то (*) – сходится равномерно на отрезке

 

4. Интеграл Дирихле

 

Пример. Доказать, что интеграл Дирихле.

Пусть

Необходимо найти .

Покажем, что этот интеграл сходится равномерно Для этого воспользуемся признаком Дирихле:

равномерно по y.

продифференцируем по х

 

Интеграл сходится равномерно для всех у, т.к. интеграл ограничен константой.

Найдем производную

Далее покажем, что дифференцирование под знаком интеграла возможно, если интеграл от производной сходится равномерно, т.е. равномерно сходится интеграл По признаку Вейерштрасса это выполняется для :

сходится.

Итак, для

 

ЛЕКЦИЯ 10