Степенные ряды. Поточечная сходимость. Радиус и интервал поточечной сходимости. Формула Коши-Адамара

 

1. Степенные ряды. Поточечная сходимость

 

Степенным рядом называется ряд вида коэффициенты степенного ряда,

Нашей основной задачей будет исследование области поточечной сходимости, равномерной сходимости и свойств суммы (1).

 

2. Радиус и интервал поточечной сходимости. Формула Коши-Адамара

 

Положительное число называется радиусом сходимости ряда (1), если при ряд (1) сходится, а при Интервал называется интервалом сходимости.

Теорема 1(об области поточечной сходимости). Любой ряд вида (1) имеет радиус сходимости Точнее:

1) если то область сходимости

2) если

3) если то при ряд (1) сходится, а при ряд (1) - расходится, причём в интервале сходимости ряд (1) будет сходиться абсолютно.

Доказательство. При доказательстве будем использовать радикальный признак Коши в следующей форме:

1) если то ряд (2) сходится;

2) если то ряд (2) расходится и

Исследуем абсолютную сходимость ряда (1):

1)

2) сходится абсолютно.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Исследуем абсолютную сходимость ряда.

Итак, область абсолютной сходимости - область сходимости ряда -

 

ЛЕКЦИЯ 6

Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда

 

1. Равномерная сходимость степенного ряда

 

Теорема 2 (область равномерной сходимости). Степенной ряд (1) сходится равномерно на любом отрезке, лежащим в интервале сходимости Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на любом отрезке вида , где Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на любом отрезке вида где Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на отрезке

Доказательство. Пусть (1) сходится в интервале Покажем, что ряд (1) сходится равномерно на отрезке Т.к. ряд (1) сходится при абсолютно, то мы можем воспользоваться признаком равномерной сходимости Вейерштрасса:

Пусть (1) сходится при Достаточно доказать равномерную сходимость на отрезке Воспользуемся признаком равномерной сходимости Абеля:

1)

2) равномерная ограниченность

3) ряд

Условия выполнены и значит ряд (1) сходится равномерно на

Доказано.

 

2. Свойства суммы степенного ряда

 

Теорема 3. Степенной ряд в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией и его можно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости почленно:

Доказательство вытекает из описания области равномерной сходимости степенного ряда и трёх теорем о свойствах суммы функционального ряда и того, что при почленном интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не меняется: радиус сходимости ряда (1).

радиус сходимости продифференцированного ряда (1).

радиус сходимости проинтегрированного ряда (1), т.е. радиус сходимости не изменился.

Доказано.

Замечание. Непрерывность суммы степенного ряда можно гарантировать на множестве если в область сходимости входит точка Пример:

ЛЕКЦИЯ 7

Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости. Ряд Тейлора-Маклорена для функций

 

 

1. Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд

 

Если функция раскладывается в степенной ряд (1) в некоторой окрестности точки а, то эта функция является бесконечно дифференцируемой в этой окрестности.

Пример.

непрерывна и имеет производные любого порядка и при

Производная в нуле:

Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если в некоторой окрестности точки а

Степенной ряд вида называется рядом Тейлора в окрестности точки а.

Таким образом, если функция раскладывается в степенной ряд, то он является рядом Тейлора. Например:

Доказательство.

Доказано.

Вернёмся к предыдущему примеру. Если ранее введённая функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки противоречие с возможностью разложения некоторой функции в некоторой окрестности. Т.е. одной бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложения в ряд.

 

2. Достаточное условие разложимости

 

Исследуем условия разложимости функции в степенной ряд. Для этого воспользуемся формулой Тейлора:

Отсюда, раскладывается в степенной ряд в точке а тогда и только тогда, когда:

Таким образом, вопрос о разложимости связан с ростом производных функции f. Укажем достаточные условия на рост производных для разложимости функций в степенной ряд.

Теорема. Если то

.

Доказательство. Имеем

Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать его сходимость По признаку Даламбера получаем:

ряд сходится, и в таком случае предел общего члена равен нулю.

Доказано.

 

3. Ряд Тейлора-Маклорена для элементарных функций

 

Последнее разложение получено почленным дифференцированием предыдущего разложения.

 

ЛЕКЦИЯ 8