Индуктивность при гармоническом воздействии

Пусть ток, протекающий по индуктивности, изменяется по гармоническому закону , где , — действующее значение и начальная фаза тока.

Используя связь между током и напряжением индуктивности, определяемую законом Фарадея, найдем мгновенное напряжение на индуктивности

, (4.19)

где , — действующее значение и начальная фаза напряжения на индуктивности.

Из (4.19) видно, что напряжение на индуктивности изменяется по гармоническому закону, а его начальная фаза больше начальной фазы тока на . Следовательно, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°. Действующее значение напряжения на индуктивности пропорционально действующему значению тока, частоте и значению индуктивности.

Определим мгновенную мощность индуктивности

.

Мгновенная мощность индуктивности представляет собой гармоническую функцию с частотой , которая аналогична мгновенной мощности емкости.

На рис. 4.16 изображены временные диаграммы напряжения, тока и мощности индуктивности. Когда ток и напряжение индуктивности одновременно положительны или отрицательны, имеет место положительный полупериод мощности, в течение которого индуктивность накапливает энергию магнитного поля. Когда ток и напряжение индуктивности имеют разные знаки, то имеет место отрицательный полупериод мощности, в течение которого индуктивность отдает энергию магнитного поля. В результате, среднее значение мощность за период равно нулю, что соответствует реактивному характеру сопротивления индуктивности.

Заменим в (4.19) вещественные функции напряжения и тока их изображениями в показательной форме записи и , получаем уравнение:

;

.

Сокращая оператор вращения и учитывая, что и , найдём комплексную амплитуду напряжения

,

где и — модуль и начальная фаза комплексной амплитуды напряжения индуктивности.

Поделив левую и правую части уравнения на и учитывая, что , находим комплексное действующее значение тока напряжения индуктивности

,

где , — модуль и аргумент комплексного действующее значение напряжения, которые совпадают с аналогичными значениями, найденными ранее путём преобразования вещественных функций.

Векторная диаграмма комплексных тока и напряжения индуктивности показана на рис. 4.17. Вектор напряжения повернут относительно вектора тока на угол 90°против часовой стрелки, поскольку напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на .

Найдем комплексное сопротивление индуктивности

и комплексную проводимость индуктивности

.

и запишем их в показательной и алгебраической форме:

, .

Определим модуль, аргумент, вещественную и мнимую части комплексного сопротивления:

, ;

, ,

и комплексной проводимости индуктивности:

;

, , .

Модуль сопротивления индуктивности изменяется прямо пропорционально частоте, а аргумент является положительным и не зависит от частоты (рис. 4.18).

На комплексной плоскости комплексные сопротивление и проводимость индуктивности изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительной и отрицательной мнимых полуосей (рис. 4.19 а, б). Комплексная схема замещения индуктивности в виде комплексного сопротивления показана на рис. 4.19,в.

Рис. 4.19

Полученные выше соотношения показывают, что комплексные сопротивления и проводимости идеализированных реактивных элементов не зависят от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрами этих элементов и частотой внешнего воздействия.