Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом в алгебраической форме записи называется выражение вида

. (4.1)

где и — вещественная и мнимая составляющие комплексного числа, которые могут быть записаны в виде и соответственно; — мнимая единица.

Комплексное число может быть изображено графически в виде точки на плоскости в прямоугольной системе координат, у которой по оси абсцисс откладывается вещественная часть , а по оси ординат — мнимая часть комплексного числа (рис. 4.1, а). В этом случае плоскость называется комплексной, ось абсцисс — вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.

Если точке поставить в соответствие вектор, проведённый из начала координат в эту точку (рис. 4.1, б), то полученная диаграмма называется векторной диаграммой комплексного числа . Величина , равная длине вектора , называется модулем комплексного числа

, (4.2)

а угол наклона вектора относительно положительной вещественной полуоси называется аргументом комплексного числа .

За положительное направление отсчета аргумента принимается направление против часовой стрелки. Главное значение аргумента определяется на интервале [ ].

Тогда вещественная и мнимая составляющие комплексного числа определяются в виде:

;

.

где

. (4.3)

Подставляя полученные выражения в (4.1), получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа

.

Используя формулу Эйлера , можно тригонометрическую форму записи комплексного число преобразовать в показательную форму

,

где е — основание натурального логарифма.

Два комплексных числа и равны, если равны их вещественные и мнимые чисти и , или, если равны их модули , а аргументы удовлетворяют условию , где .

Два комплексных числа называются комплексно-сопряженными, если их вещественные части равны, а мнимые части отличаются только знаком. Тогда алгебраическая форма записи комплексно сопряженных чисел имеет вид и , а показательная — и , где символ «*» означает комплексное сопряжение.

Сумма двух комплексно сопряженных чисел является действительным числом , равным удвоенной вещественной составляющей.

Понятия "больше" и "меньше" применимы только для сравнения модулей и аргументов комплексных чисел, а также их вещественных и мнимых составляющих и не применимы к самим комплексным числам.

Арифметические действия над комплексными числами выполняются аналогично действиям с действительными числами.

Умножение комплексного числа на действительное число вызывает изменение только модуля комплексного числа в раз , что эквивалентно изменению длины вектора (рис. 4.1) в раз.

Умножение комплексного числа на комплексное число , модуль которого равен , изменяет только аргумент комплексного числа на , что эквивалентно повороту вектора на комплексной плоскости (рис. 4.1, б) на угол ,

.

Тогда умножение комплексного числа на эквивалентно повороту вектора на угол , а умножение на — повороту вектора на угол .

Поскольку модуль комплексного числа в соответствии с (4.2) равен

,

то на комплексной плоскости это число изображается в виде единичного вектора, длина которого равна единице, повернутого относительно вещественной оси на угол .

В теории функций комплексной переменной широкое применение находит показательная функция , модуль которой также равен единице , а аргумент является линейной функцией времени . В случае функция изображается на комплексной плоскости в виде вектора единичной длины, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью . Поэтому функцию называют оператором вращения.