Распространение погрешностей

Часто интересующая нас величина представляет собой результат вычисления, полученный из нескольких независимо измеренных величин. Каждая из них содержит погрешность, которая вносит вклад в общую погрешность результата. Это явление называется распространением погрешностей. Конкретный способ распространения погрешностей определяется видом соотношения между исходными и вычисленным значениями. При этом для вычисления случайных и систематических погрешностей используют разные формулы (таблица 4).

Таблица 4 - Распространение погрешностей

Случай	Функция	Систематическая погрешность	Случайная погрешность
а	б
	u=x+y
	u=x-y
	u=xy
	u=x/y
	u=xp
	u= ln x
	u= lg x

Как видно из таблицы 4 для линейной функции дисперсия является аддитивной величиной. Вследствие этого наибольшее стандартное отклонение обычно вносит преобладающий вклад в общую величину стандартного отклонения конечного результата. Заметим также, что при вычитании исходных величин их дисперсии все равно складываются.

При расчете систематических погрешностей следует различать два важных случая:

а) Если известны и величины, и знаки погрешностей отдельных составляющих, то расчет суммарной погрешности производится по формулам, приведенным в столбце а таблицы. Величина суммарной погрешности при этом получается с определенным знаком.

б) Если известны лишь максимально возможные погрешности отдельных стадий (это равносильно тому, что известны лишь абсолютные величины, но не знаки этих погрешностей), то расчет производится по формулам указанным в столбце б табл. 4. При этом результат расчета также является абсолютной величиной суммарной погрешности.

Пример. Рассчитайте максимальную систематическую погрешность (абсолютную и относительную) при приготовлении 200,0 см³ раствора с концентрацией с(1/2 Na₂C0₃)=0,1000 моль/дм³. Максимальная систематическая погрешность массы навески ±0,2 мг, калибровки колбы ±0,2 см³. Молярные массы элементов: Na 22,9897; С 12,011; O 15,9994. Погрешности молярных масс элементов считайте равными единице в последнем знаке указанных величин.

Решение: Концентрация раствора в моль/дм³ рассчитывается как

где т - масса навески, г; М - молярная масса эквивалента Na₂CО₃ =(1/2 M(Na₂CО₃), г/моль; V -объем раствора, дм³.

В соответствии с законом распространения систематических погрешностей относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя):