Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 6. Найти неопределенный интеграл .

Пример 7. Найти неопределенный интеграл

.

Пример 8. Найти неопределенный интеграл: .

Решение: Здесь функция sinx стоит в нечетной степени, поэтому

;

Пример 9. Найти неопределенный интеграл

Пример 10. Найти неопределенный интеграл

= -

Пример 11. Найти неопределенный интеграл

= .

Интегрирование рациональных функций некоторых иррациональностей

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

В подынтегральном выражении выделим целую часть: ,

.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Сделаем следующую замену переменных:

.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Замена интеграл примет вид

 

= = = = =

= +С= = +С.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Замена тогда = .

Интеграл примет вид =

 

= = = = =

.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Замена Тогда интеграл примет вид =

= = = = = =

= .

Определенный интеграл

1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

1).

2). =

3).

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Вычисление определенного интеграла методом замены

1.

Положим

Вычислим новые пределы интегрирования

2.

Положим

Вычислим новые пределы интегрирования

3.

Положим

Вычислим новые пределы интегрирования

4.. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: Сделаем замену переменных . Тогда

.

Найдем новые пределы интегрирования, подставив в формулу вместо x сначала единицу, а затем двойку, получим таблицу для нахождения новых пределов:

 

Итак,

5. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: Положив , Тогда находим, и

6. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Сделаем следующую замену переменных: . Тогда .

(новые пределы интегрирования были найдены из уравнений:

7. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , если , то . Следовательно,

.

8. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , , если , то .

.

Метод по частям для вычисления определенного интеграла.

1. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используем тригонометрическую формулу ,

получаем интеграл:

2. Вычислим методом по частям. Положим

Пример 3.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:В формуле интегрирования по частям положим:

Пример 4.

Вычислить интеграл .

Решение: Положим , тогда получим:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение: Сначала применим подстановку ,

, .

.

Последний интеграл будем интегрировать по частям. Положим

Тогда .

Пример 5. Вычислить интеграл:

Пример 6. Вычислить интеграл: