Непосредственное интегрирование

Примеры: Найти интегралы

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9)

10)

11) ;

12)

Замена переменных

1)

Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ;

Тогда

2) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ;

3) Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; ;

4) ; Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ;

5) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ;

6) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства

;

7)

Так как , то

или:

8)

Положим . Тогда

Так как , то

9) = = = = = = .

10) = =

11) .

12) .

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Пример1:

= = =

= = .

Пример2:

= = = = = .

Пример 3:

= = = .

Пример4:

I= = = = = .

Последний интеграл есть не что иное как исходный интеграл, поэтому можно

записать:

; ; .

Пример 5: =

= = =

=

Пример 6.

.

Пример 7.

. Положим

Отсюда

Пример 8.

. Выполним сначала замену переменной, положим

.

Тогда и . Следовательно,

,

Пусть , . Тогда ,

и, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

.

Полагая в формуле интегрирования по частям , , получаем . Окончательно имеем

Итак, .

Пример 9. .

Положим Тогда и, следовательно, применяя формулу интегрирования по частям получим

Интеграл вычислим отдельно, интегрируя его по частям.

Положив , находим: Следовательно, .

Но тогда

Пример 10.

Положим

Тогда

вычислим, используя метод разложения

Таким образом, получаем:

Пример 11.

Положим

Тогда

Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим

, тогда

 

,

 

Итак, .

Пример 12.

Тогда

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Примеры:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

.

8)

9)

10)

11) Поскольку , то используем замену переменной ,

Интегрирование рациональных функций.

Пример 1. Найти .

Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель.

Тогда Разложим дробь на простейшие дроби:

;

Отсюда Следовательно,

Но тогда: =

Пример 2. Найти

Решение: Подынтегральную правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть к общему знаменателю

и запишем тождественное равенство числителей:

.

Подставляя в полученное выражение корни знаменателя , , , найдем неизвестные коэффициенты :

Следовательно, искомый интеграл представим в виде:

Пример 3. Найти

Подынтегральную правильную рациональную дробь раскладываем на сумму простейших:

.

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:

.

Подставляя два действительных корня в полученное равенство, найдем неопределенные коэффициенты :

Для нахождения и в этом же равенстве приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Решаем систему линейных уравнений:

Следовательно, искомый интеграл

Пример 4. Найти интеграл .

.

Пример 5. Найти интеграл ;

б) ; в) .

найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей.

;

;

;

Таким образом,

.