Докажем, что MN является высотой в равнобедренном треугольнике КМР, т. е.

1. D КМР – равнобедренный (МК=МР);

2. MN – медиана (КN =NР);

3. MN – высота (MN^КР).

D АМN=D ВМN=D СМN=D DМN (как прямоугольные треугольники по двум катетам)

1. , так как MN^АС, MN^ВD;

2. MN – общий катет;

3. АN = ВN = СN = DN по построению.

Из равенства треугольников следует, что АМ = ВМ = СМ = DМ.

D АВМ = D СDМ (по трём сторонам)

1. АD=ВС по построению;

2. АМ = СМ;

3. ВМ = DМ.

Из равенства треугольников следует, что .

D ВМК = D DМР (по двум сторонам и углу между ними)

1. ВК= DР (по свойству параллелограмма);

2. ВМ=DМ;

3. (как ).

Из равенства треугольников следует, что МК = МР. Значит D КМР – равнобедренный.

По свойству параллелограмма NК = NР, следовательно, MN является медианой в равнобедренном треугольнике. А, значит, MN – высота.

Вывод: Чтобы доказать, что данная прямая перпендикулярна данной плоскости, надо в этой плоскости найти две пересекающиеся прямые, которым данная прямая перпендикулярна.

Упражнения:

1. Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости a. Может ли быть перпендикулярна к этой плоскости:

a) ВС,

b) СD, где D – середина АВ?

2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

3. В треугольнике АВС дано: Ð С = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найти КМ.

7. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

ПОНЯТИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА И НАКЛОННОЙ К ПЛОСКОСТИ. СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА И НАКЛОННЫХ, ОПУЩЕННЫХ НА ПЛОСКОСТЬ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ

 

Рассмотрим плоскость a и точку М, не принадлежащую этой плоскости. Проведем через точку М прямую l, перпендикулярную плоскости a. Прямая пересечет плоскость в точке N.

Отрезок МN называется перпендикуляром, проведенным из точки М к плоскости a, а точка N – основанием перпендикуляра.

Отметим в плоскости точку К, отличную от точки N, и проведем отрезок МК.

Отрезок МК называется наклонной, проведенной из точки М к плоскости a, а точка К – основанием наклонной.

Отрезок NК называется проекцией наклонной МК на плоскость a.

Определение: Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, проведенных к плоскости из одной точки.

Обозначение:

Свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

 

Вывод: Из всех расстояний от точки М до различных точек плоскости a наименьшим является длина перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости a.

Определение: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Вывод: