Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...

Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...

Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...

Интересное:

Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...

Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...

Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспунденкция

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

2017-06-11

413

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 9Следующая ⇒

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства .

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I₁. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение:

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a, b, g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a, плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a.

Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I₂. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение: а = АВ

Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают.

I₃. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Обозначение:

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I₄. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение: a = АВС

Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I₅. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение: М Î a, М Î b, a ¹ b, a ìü b = l.

II. Аксиомы расстояния

II₁. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение: АВ ³ 0.

II₂. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.

Обозначение: АВ = ВА.

II₃. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Обозначение: АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III₁. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.

III₂. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а.

III₃. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.

III₄. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А, В, А₁, В₁ лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А₁В₁, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А₁ а точку В на точку В₁.

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: М, а, М Ï а

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I₁ ): А Î а, В Î а.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄ ): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a, то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃ ): а Ì a.

Следовательно, существует плоскость a, проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄ ).

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b, а ´ b

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I₁ ): А Î а, В Î b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I₄ ): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a, то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I₃ ): АМ = а Ì a.

Так как точки В, М принадлежат плоскости a, то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I₃ ): ВМ = b Ì a.

Следовательно, существует плоскость a, проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I₄ ).

Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b,

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Существование плоскости a, проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых.

2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I₁ ): А Î а, В Î b, М Î b. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I₄. Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная.

Упражнения:

1. Прочитать запись и сделать схематический рисунок:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2. По рисунку назвать:

a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;

b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;

c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС₁ и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА₁;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А₁В₁С₁;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА₁В₁ и АСD, РВ₁С₁ и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В₁С₁ и ВР, С₁М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...